文档介绍：曲柄滑块机构的运动规律
1 实验目的
着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究、讨论函数的方法。
2 实验问题
曲柄滑块机构是一种常用的机械结构,它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复运动,是压气机、冲床、活塞式水泵等机械的主机构。
1
记曲柄OQ的长为r,连杆QP的长为l,
当曲柄绕固定点O以角速度
P在水平槽内作往复直线运动。
旋转时,由连杆带动滑块
假设初始时刻曲柄的端点Q位于水平线段OP上,
曲柄从初始位置起转动的角度为
,
连杆QP与OP的锐夹角为
(称为摆角)。
2
在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律,
确切地说,要研究滑块的位移、速度和加速度关于
的函数关系,
摆角
及其角速度和角加速度关于
的函数关系,
3
(1)求出滑块的行程S(即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离);
(2)求出滑块的最大和最小加速度(绝对值),以了解滑块在水平方向上的作用力;
(3)求出
的最大和最小角加速度(绝对值),以了解连杆的转动惯量对滑块的影响。
在求解上述问题时,我们假定
4
数学模型
取O点为坐标原点,OP方向为x轴正方向,P在x轴上的坐标为x,那么可用x表示滑块的位移。
利用三角关系,立即得到
5
于是滑块的速度
进而,可以得到滑块的加速度为
6
同样,基于关系式
我们有摆角的表达式
式()对t求导,
7
由此再得
利用(),
不难由上两式导出
8
至此,我们得到了滑块位移x和连杆摆角
运动规律中有关变量依赖
的表达式。
滑块的加速度为
虽然我们已经得到了有关变量的解析式,但是要求出问题的解并非十分简单。由于滑块加速度和摆角角加速度的函数表达式()和()相当复杂,从这两个式子来了解这两个量并不方便,而要用它们进一步求出极值则更加不易(当然,可以借助数学软件来进行,我们把这一点留给读者)。
9
由于数学模型本身是对实际问题的抽象,从而也必定有某种简化和忽略。即使我们得到了问题的解析形式解,一般说来,它仍然是对实际情况的近似。为了方便起见,对较为复杂的解析模型进行近似处理常常是必要的。事实上,在曲柄连杆结构(以及不少工程问题)的研究中,确实经常使用着这个方法。
近似模型
将位移的表达式()改写为
10