文档介绍：1。有一弹簧连着一个质量为m1的滑块,滑块可以沿光滑水平直线自由滑动,在
滑块上系有一摆长为l,质量为m2的单摆,求体系的振动频率。
m1
k
x
l
θ
m2
解:设坐标原点为弹簧不受力是滑块的位置。体系的拉格朗日函数为
1 2 1 2 2 2 1 2
L  m1x m2 x l  2l x cos  mgl cos  kx
2 2  2
考虑到二阶近似
1 2 1 2 2 2 1 2 1 2
L  m1x m2 x l  2l x m2gl 1  kx
2 2  2 2
则拉格朗日方程为
m1  m2 x m2l kx  0
2
m2l  m2lx m2gl 0
令
x  A1 sint 
 A2 sint 
带回得
2 2
A1k m1  m2  A2m2l 0
2 2 2
A2m2gl  m2l  A1m2l 0
要此方程组有非零解要求
2 2
k m1  m2 m2l
 0
2 2 2
m2l m2gl  m2l 
即
2 4 2 2 2
m1m2l glm1m2  glm2  kl m2  gklm2  0
振动频率为上面方程的解
2。高为h,顶角为2的圆锥在一平面上滚而不滑,如此锥体以等角速度绕z0轴
转动,求此圆锥底面上最高点A的速度和加速度。
z0
A
z
α
解:用欧拉角
e3

2
k
h h
cos dt  cos  sin dt
k
 sin 

e3 k
sin 

e3 cos e3  sin  cos e1  sin  sin e2 
sin 
 h
r  hk  cos  sin ezA
h
 cos cos
v r
 h h 
he3  k  cos  sin e3 ezA  cos  k eoA
h 2 h
h sin  cos  sin  cos ev
 2h cos ev
a r

e3 k  2h cos ev
sin 
3。半径为R的圆周在自身平面内以角加速度绕圆周上以固定点C沿逆时针方向
转动,一质点M在此圆周上以相对速度2R沿顺时针方向运动。开