文档介绍：§4 柯西点列和完备度量空间
教学内容(或课题):
目的要求: 掌握柯西点列、完备度量空间的概念,学会使用概念和完备度量空间的充要条件判别完备度量空间.
教学过程:
设是中的点列,若0,,,有=,则称是中的柯西点列.
Def 1 设=(,)是度量空间,是中的点列. 若0,,,有,则称是中的柯西点列或基本点列. 若度量空间(,)中每个柯西点列都收敛,则称(,)是完备的度量空间.
有理数的全体按绝对值距离构成的空间不完备,如点列1, , 1,41, 在中收敛于,在有理数集中不收敛.
但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.
实因若,则0, ,,,有++. 所以是柯西点列.
例2 (表有界实或复数列全体)是完备度量空间.
证明设是中的柯西点列,其中=.0, ,,都有= (1)
因此对每个固定的,当时,成立
(2)
于是,是柯西数列. 由于实数集或复数集按差的绝对值定义距离是完备的,故存在实或复数,. ()令=,往证且.
在(2)中,令,得时,成立
(3)
因为=,所以0,. ,成立(不同的数列,界可能不一样). 所以+. 所以. 由(3)知,时,成立. 所以. 所以是完备度量空间.
例2 令表示所有收敛的实或复数列的全体,=, =,令=. 则 0且=时,=0. 又==0 =(). 于是=0 =. =,则由于对,成立++=
+. 所以+. 即+. 所以可定义为中两点间的距离. 于是按距离成为度量空间(实际上是的一个子空间). 欲证是完备度量空间,先证
Th 1 完备度量空间的子空间是完备度量空间是中的闭子空间.
证明设是完备子空间,对每个,中点列,使. 所以是中柯西点列. 所以它在中收敛. 由极限的唯一性,所以. 所以. 即是中的闭子空间.
反之,若是中柯西点列,因是完备度量空间,则在中收敛. 即,. .因为是中的闭子空间,所以,所以在中收敛. 于是是完备度量空间.
例2的证明由Th 1 只证是中的闭子空间即可.
=(要证,从而),=(),. . 所以0,,,成立
=.
特别取,则对,,
所以当时,收敛. 故,. ,时,成立. 所以,时,成立
++++=.
所以是柯西数列,因而收敛. 所以=. 所以是中的闭子空间. 由Th 1,是完备度量空间. 证毕.
作业: 206. 14. 15中的.
作业题解: 14 =1,,,有1, 特别当时,有1. 又时,只有有限个值故0,. . 因此,成立+. 所以是有界点列.
15设是中的柯西点列,=. 即0,
, ,成立
= ()
所以,时,成立. 因为给0, 对于每个固定的,:0,然后由这个,按不等式(),. 所以时,对这个固定的,成立. 所以(). 所以是实(复)数集中的柯西点列. 而实(复)数集完备, 所以收敛,设(). 记=,则. 而,所以完备.
设是中的柯西点列,=,.
0,,,成立. 所以
及,成立
. ()
因此在集上,函数列收敛,设. 由()式,令得时,. 所以时,++(由于收敛,从而存在). 所以,又已证所以是完备度量空间.
柯西点列和完备度量空间(续)
教学内容(或课题):
目的要求: 再次巩固上次课学****的概念与定理,进一步掌握使用概念及定理判别完备度量空间的常用方法.
教学过程:
是完备的度量空间.
证明设, 是中的柯西点列. 0,,,成立
. (4)
所以,有. 于是当固定时,
(复)数集的完备性,,.. 往证,实因在(4)中令,得知时,成立
. (5)所以在上一致收敛于,从而. 由(5),当时,=. 所以,故是完备度量空间.
令表示闭区间上实系数多项式全体,作为的子空间是不完备的度量空间. 实因多项式列
在闭区间上一致收敛于连续的指数函数,但非多项式. 即不是的闭子空间. 由Th 1,不是完备度量空间. 证毕.
设表示闭区间上连续函数全体,对,令
=.
易知成为度量空间. 实因
显然 0. 若时,,从而=0. 反之若=0,即=0. 因0,故= 于. 又因相等的连续函数必然处处相等,故. 总之0且=0.
=+
=+.
所以是度量空间.
例5 上面定义的度量空间不完备.
证明令=
先证是中的柯西点列. 实因,当
时,==
=. 所以点列是中的柯西点列.
再证点列在中不收敛. 实因对每个,
==++. 若0, 必有==0. 但由于
在闭区间上连续,得在恒为0,在恒为1.