文档介绍：第8章季节性时间序列模型
由于在日常生活中经常遇到季节性时间序列,因此我们为其单辟一章。在引入一些基本概念和常用模型之后,我们将自回归求和移动平均模型加以推广,用来描述季节时间序列。另外,为了说明该方法,我们还给出了详细例子。
基本概念
许多商业和经济时间序列都包含有季节现象,即在一段时期后不断地对自身作有规律的重复。重复现象出现的最小时间间隔称为季节周期。例如,并吉林小玲的季度序列在夏季最高,序列在每年都重复这一现象,相应的季节周期为4。类似地,汽车的月度销量和销售额在每年7月和8月也趋于下降,因为这是经常更换新的车型。而玩具的月销售量在每年的12月增加。后两种情形的季节周期是12。季节现象源于一些因素,如气候影响许多商业和经济活动,如旅游和房屋建筑;一些习惯性事件,如圣诞节就与珠宝、玩具、贺卡及邮票的销售密切相关;夏季几个月的毕业典礼直接关系到这几个月的劳动力状况。
作为说明的例子,图8-1给出了1971-1981年美国月度就业人数,调查对象是美国16-19周岁的男性。序列的季节特性是明显的,在夏季几个月人数急剧增加,在学期结束的6月出现高峰,而在秋季学校开学后就下降了。这种现象每12个月重现一次,因而季节周期是12。
传统方法
通常,时间序列被看做由趋势项(Pt),季节项(St)以及不规则分量(et)混合而成。如果这些分量被假定为是可加的,可以将时间序列Zt写成
Zt =Pt+ St+ et ()
为了估计这些分量,文献中引入了一些分解方法。
回归方法
在回归方法中,可加性时间序列可以写成下面的回归模型
Zt =Pt+ St+ et
= ()
其中,Uit是趋势-循环变量;St=和是季节变量。例如,线性的趋势-循环分量Pt可以写成
()
更一般地,循环-趋势分量可以写成关于时间的m次多项式:
()
类似地,季节分量St可以表示为季节虚拟(示性)变量的线性组合,或表示成各种频率正弦-余弦函数的线性组合。例如,一个周期为s的季节序列可以写成
()
其中,如果t对应于季节的第j期,有=1,对于其他情况就为0;注意,当季节周期为s时,我们只需要(s-1)个季节虚拟变量。换言之,令使得系数(其中,)表示在周期为s时第j期的季节影响。另一方面,St也可以写成
()
其中,[s/2]是s/2的整数部分。这类模型将在第11章讨论。于是,模型()成为
()
或者
()
对于给定数据集和特定的m和s的值,可用标准最小二乘回归方法得到参数,和的估计值,和。Pt,St,和方程()中的et的估计值可由下式给出:
()
()
和
()
对于方程()可由下式给出
()
()
和
()
移动平均方法
移动平均方法基于这样的假定:一个季节时间序列的年度总和中只有少量的季节变量,因此,令为序列的非季节变量,而非季节变量的估计可以用对称移动平均算子得到,即
()
其中,m为一正数,为常数,且有以及。季节分量的估计可由原序列减去得到,即
()
前面的估计可以通过重复各种移动平均算子得到。利用移动平均方法的成功例子是人口普查局X-12方法,该方法被政府和工业企业广泛地采用。
被消除了季节影响的序列,即,称为季节调整序列。因此,前述季节分解方法也是熟知的季节调整方法。人们普遍认为季节分量是有规律的特征,能够以合理的精度进行预报,所以政府和产业对于调整序列的季节性有着很大的兴趣。这一专题在这里只是简要的论及,感兴趣的读者可以参考由Zellner(1978)编辑的优秀的论文集。有关该专题最新的文章,主要有Dagum(1980),Pierce(1980),Hillmer和Tiao(1982),Bell和Hillmer(1984),以及Cupingood和Wei(1986)。
季节性ARIMA模型
,且与其他非季节分量相独立。然而,许多时间序列并没有那么好的性质。更多的情况是季节分量可以是随机的,并且与非季节分量相关。本节我们将前一章讨论的ARIMA模型推广到季节时间序列。
为了说明问题,我们考察美国1971-1981年16~19岁男性的月度就业统计数字,Buys-Ballot表在表8-2中给出。该表显示就业统计数字不仅月与月相关,而且年与年也相关。因此,为了对6月份的就业水平进行预报,我们不仅要考察相邻月份(如5月和7月)的就业水平,而且还要