文档介绍：,再利用极限运算法则求极限例1解:原式=。注:本题也可以用洛比达法则。例2解:原式=。例3解:原式。(1)(2);说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,例如:,,;等等。利用两个重要极限求极限例5解:原式=。注:本题也可以用洛比达法则。例6=例7=。(即极限是0)。定理3当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:~~~~~~。说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价关系成立,例如:当时,~;~。定理4如果函数都是时的无穷小,且~,~,则当存在时,也存在且等于,即=。利用等价无穷小代换(定理4)求极限例9解:~,~, 原式=。例10解:原式=。注:下面的解法是错误的:原式=。正如下面例题解法错误一样:。例11解:,所以,原式=。(最后一步用到定理2)五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。(或无穷大)时,函数和满足:(1)和的极限都是0或都是无穷大;(2)和都可导,且的导数不为0;(3)存在(或是无穷大);则极限也一定存在,且等于,即=。说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。利用洛比达法则求极限说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,洛比达法则还可以连续使用。例12(例4)解:原式=。(最后一步用到了重要极限)例13解:原式=。例14解:原式==。(连续用洛比达法则,最后用重要极限)例15解:例18解:错误解法:原式=。正确解法:应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。例19解:易见:该极限是“”型,但用洛比达法则后得到:,此极限不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:原式=(分子、分母同时除以x=(利用定理1和定理2)