文档介绍：第六节泰勒(Taylor)公式
一、问题的提出
三、几种常用的Maclaurin公式
四、简单的应用
五、作业练****br/>二、Taylor公式
一、问题的提出
1、关于多项式
由于它本身的运算仅是
多项式是最
简单的一类初等函数.
所以在数值计算方面,
多项式是人们乐于使用的工具.
有限项加减法和乘法,
因此我们经常用多项式来近似表达函数.
初等数学已经了解到一些函数如:
2、近似计算
的一些重要性质,但是初等数学不曾回答怎样
来计算它们?
些结果提供了近似计算这些函数的有力方法.
以的近似计算为例.
高等数学微分学中所研究出来一
线性逼近优点:形式简单,计算方便;
一次(线性)逼近
利用微分近似计算公式
的线性逼近为:
不足:离原点0越远,近似度越差.
,对附近的,
1
y=1
y
x
-1
二次逼近
期望:
二次多项式逼近
它要比线性逼近好得多,但局限于内.
二次逼近为,
可以看出,
y=1
y
x
1
-1
八次逼近
八次多项式逼近
y=1
y
x
1
-1
比在更大的范围
内更接近余弦函数.
想法:对于精确度要求较高时候可以用高次多项式来近似表达函数.
问:要找的多项式应满足什么条件?
从几何上看,
代表两条曲线,
要使它们在x0附近与很靠近,
很明显
①首先要求两曲线在
相交,
②要靠得更近还要求两曲线在
相切,
③要靠得更近还要求两曲线在
弯曲方向相同,
因为弯曲程度要用切线的变化率--------二阶导数来刻画.
进而可推想:若在
附近有
近似程度越来越好
所以要找的多项式应满足下列条件
问题归结为:给定一个函数f (x),要找一个在指定点 x0
附近与f (x)很近似的多项式函数Pn (x),
记为
使得
且误差
可估计。
为了在性质上吻合的更好,我们要求:
下面来求多项式Pn(x)的表达式(即系数ai)和误差表达式.