文档介绍：第三节
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的
等价条件
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格林公式
第十章
在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系;
本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线积分之间的联系.
区域 D 边界L 的正向: 当人沿边界行走时,
区域D总在他的左边.
一、格林(Green)公式
通常外边界为逆时针方向;
内边界为顺时针方向.
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,
则有
( 格林公式)
函数
在 D 上具有连续一阶偏导数,
或
一、格林公式
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证明:
1) 若D 既是 X - 型区域, 又是 Y - 型区域, 且
则
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即
同理可证
①
②
①、②两式相加得:
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2) 若D不满足以上条件,
则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域, 如图
证毕
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为便于记忆,格林公式:
也可写成下述形式:
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
格林公式
例如, 椭圆
所围面积
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例1.
设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
证: 令
则
利用格林公式, 得
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