文档介绍：第七节斯托克斯公式环流量与旋度
一、斯托克斯公式
二、简单应用
三、物理意义—环流量与旋度
四、小结思考题
定积分
二重积分
三重积分
曲线积分
曲面积分
格林公式
高斯公式
计算公式
(平面)
斯托克斯公式
(空间)
各类积分之间的关系示意图
基本假定:
(1)是分片光滑的有向曲面,是其
边界, 为分段光滑的有向曲线。
(2) 的方向与的侧向之间符合右手规则。
(3)P、Q、R 在及上具有一阶连续偏导数。
情形1: 与平行于 z 轴的直线相交不多于一点。
此时的方程可以表为:
(1) 取上侧。
在 xoy 面上的投影区域记为
相应地,在 xoy 面上的投影为 C
C 的方向为逆时针方向。
(1) 取上侧。
首先,可以证明
因为若
则必有
是上对应的点,
且对于上的一个小弧段
它在 xoy 面上的投影记为
则
在 x 轴上的投影
完全一样,都为 d x
所以上面等式两边的被积表达
式相等。
(1) 取上侧。
首先,可以证明
由格林公式
所以
又
(1) 取上侧。
所以
(2)若取下侧,上式仍成立
(3)若平行于 z 轴的直线与的交
点多于一个,则类似于格林公式的处
理,可以说明上式也成立。
总之,在基本假定下,上式总
成立。
同理:
三式相加,并归类得
该等式称为斯托克斯公式
该等式称为斯托克斯公式
(1)在公式中, 的侧向与的方向要符合右手规则
(2)为帮助记忆,引入如下行列式记号
按第一行展开,并约定
该等式称为斯托克斯公式
再利用关系式
公式又可以写成
(3)若是 xoy 面上的平面区域 D, 则