文档介绍：2006年中国科学院研究生院
数学分析考研试题
一. (20分)设在内可导,且,其中为
有限数或或。证明:存在,使得。
二. (20分)计算积分
1. ;2. ;3.
三. (20分)设函数在上二阶可导,且,
。证明,使得。
四. (20分)1. 证明:任一实数列必为两个单调递增数列之差。
2. 设,求
五. (15分)设函数在上连续,且,
使得。证明:在上至少有一个零点。
六. (20分)求幂级数的收敛域,并求其和函数。
七. (20分)计算二重积分,其中为区域。
八. (15分)设存在二阶连续偏导数,表示的梯度,
表示的Hesse矩阵,其中
。
1. 设是的稳定点,即:。如果在处为正定的,证明是的一个局部极小值点。
2. 设的Hesse矩阵在所有点处正定,
证明至多有一个稳定点。
2006年中国科学院研究生院
数学分析考研试题的解答
证明
证法一用反证法,假若结论不真,
由导函数的介值性,对所有,
必有或者.
若对一切,都有,
则在上严格单调递增,
对,有,
令,取极限,则得
,
这与条件矛盾,同理对所有,都有时,亦是矛盾的,
所以假设不成立,故原结论成立.
证法二(1)当为有限数时,若,则,结论自然成立,
若不很等于,则存在,使得,
下设,(对,类似可证)
因为,
函数在内连续,
所以对任意取定的数,
存在,,
使得,
从而由Rolle定理知,
存在,使得。
若或,则任取一点作,上面的推理保持有效.
(2)当时,,
易知在内可取到最小值,
设在处取到最小值,则有;
(3)当时,,
易知在内可取到最大值,
设在处取到最大值,则有;
注:此题是推广的罗尔中值定理。
二、1、解
解法1
.
解法2 令,
, 于是.
解法3 ,,
,
,
于是.
2、解由,知

,
,
,
3、
。
三、证明因为在上连续,有最小值,又因为,
,故最小值在的内部达到,
所以存在,使得.
于是为极小值,由Fermat定理,有,
在处,按Taylor公式展开,存在,使得
,
,
因此
,
于是存在,使得.
四、1、证明设为任一实数列,
令,,
所以,