文档介绍：高等数学强化讲义
一函数极限连续
§1 函数
一函数的基本概念
是一个非空实数集合,设有一个对应规则,使每一个,都有一个确定的实数与之对应,则称这个对应规则为定义在上的一个函数关系,或称变量是变量的函数,记作.
二函数的基本性态
1 奇偶性
(1) 定义:偶;奇。
(2) 导函数:奇导偶,偶导奇.
(3) 原函数:奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数, 其中
2 有界性
(1) 定义:, ,有.
(2) 无界:, ,有.
(3) 无界与无穷: 无界的本质是有一个子列趋向于无穷;
无穷的本质是任意的子列趋向无穷。
(4) 常见有界的判定:设在连续, 则在有界.
设在连续, 且存在, 则在有界.
3 周期性
(1) 定义:
(2) 导函数:导函数还是周期函数并且周期相同
注:周期函数的原函数不一定为周期函数。
4 单调性
(1) 定义:递增(递减) 当时,均有
(2) 导函数:单增(减);单增(减).
题型一无界与无穷的判定
例1 设
(A) 偶函数(B)有界函数
(C) 周期函数(D)单调函数.
例2 当时,变量是( )
(A)无穷小(B)无穷大
(C)有界的,但不是无穷小量(D)无界的,但不是无穷大
题型二函数性态的判定
例3 设是一个奇的连续函数,则下面必定是奇函数的是( )
(A) (B)
(C) (D)根据上面条件无法判断
例4 设函数具有二阶导数,并满足且若则( )
(A) (B)
(C) (D)
练****设在内可导,且对任意,当时,都有
,则( )
(A) 对任意(B)对任意
(C)函数单调增加(D)函数单调增加.
例5 设函数在下列哪个区间内有界( )
A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3)
三各种其他的函数
1分段函数:函数关系要用两个或多于两个的数学式子来表达
2 复合函数:与复合而成的复合函数,为中间变量.
3 反函数、隐函数
(1)原来的函数为,若把作为自变量,作为因变量,便得一个函数,且,称为的反函数.
(2) 隐函数: .
4 初等函数
(1) 基本初等函数:常数,幂,指数,对数,三角,反三角.
(2) 由基本初等函数经过有限的四则运算和复合所构成的函数,称为初等函数.
题型三分段函数的复合
方法:各种情形分别讨论.
例6 设, , 试求.
§2 极限
一极限的概念
1 数列极限: 对于当时有.
2 函数的极限
(1) (自变量趋向于有限值的情形)
(a),,当时,
有.
(b) (左极限) .
(右极限) .
(c) .
(2)(自变量趋向于无穷大的情形)
(a),,当时,
有.
(b) .
.
(c) .
(3) 常见有不同极限的函数:分段函数、
二极限的性质
1 有界性: 有界;
有界
2 有理运算性质:
(1) 若, , 则(a)
(b) (c) .
(2) 推广:加减法只要其中的一个极限存在,乘除法只要其中一个极限存在且不为0,上述运算法则就成立.
(3) 延伸:若,则
(a) (b).
例设,求和.
3 保号性:当有
三极限的两个存在准则
(1)单调有界定理: 若数列单调且有界, 则有极限.
(2)夹逼准则: 设在的领域内恒有, 且
, 则.
四无穷小和无穷大
1 无穷大量: 若, 称为的无穷大量.
正无穷:; 负无穷:.
2 无穷小量: 若, 称是时的无穷小量。
(1) 设、都是时的无穷小量, 若且,
(a) ,称是比高阶的无穷小,记以,
(b) ,称与是同阶无穷小。
(c) ,称与是等阶无穷小,记以.
(2)若为无穷小,且,称的阶无穷小.
(3)无穷小的性质:无穷小乘以有界为无穷小;
有限个无穷小的和(乘积)仍然为无穷小.
(4) 等价无穷小的作用: 若, 则.
(5) 如何得到加减的等价无穷小:泰勒定理.
3 无穷小和无穷大关系: 非零无穷小的倒数为无穷大;
无穷大的倒数为无穷小.
题型一:极限概念、性质和存在准则的讨论
核心点:相关定理、定理的反问题、定理减少条件后的情形
例1 设对有且, 则( )
A 存在且为0 B 存在但不一定为0
C 一定不存在 D 不一定存在
例2 设数列与满足, 则下面断言正确的是( )
A 若发散,则必发散, B 若无界,则必有界
C 若有界, 则必为无穷小 D若为无穷小,则必为无穷小
例3 设均为非负数列, 且,,, 则( )
A B
C 不存在 D 不存在
例4 设函数在内单调有界, 为数列, 下面命题正确的是( )
A 若收敛,则必收敛 B 若单调,则必收