文档介绍：,变根式积分为三角有理式积分求解令,则于是练****求倒代换(即令)设分别为被积函数的分子、分母关于的最高次数,当时,可以考虑使用倒代换。求解令,则,于是原式 练****指数代换(适用于被积函数由所构成的代数式)令,求解令,原式 一、有理函数的积分 形为, (1)其中和都是非负整数;及都是实数,并且。 假定分子与分母之间没有公因式,当时,称(1)为真分式;否则为假分式。利用多项式的除法,总可以将一个假分式转换为一个多项式与一个真分式的和。而多项式的积分容易求得,所以只需要讨论真分式的积分。真分式由如下性质: 如果真分式在实数范围内能分解称一次因式与二次质因式的乘积,如(其中那么真分式可以分解成如下部分分式之和:(2)其中及等都是常数。对于(2)式应注意以下两点: 1)分母中如果有因式,那么分解后有下列个部分分式之和其中都是常数,特别地,如果,那么分解后有;2)分母中如果有因式,其中,那么分解后有下列个部分分式之和其中都是常数,特别地,如果。那么分解后有。然后我们可以使用待定系数法,或者直接代入的特殊值求出系数例如,真分式可分解成其中为待定系数,可以用如下的方法求出待定系数。 第一种方法两端去分母后,得或(3)因为这时恒等式,等式两端的系数和常数项必须分别相等,于是有从而解得第二种方法在恒等式(3)中代入特殊的值,从而求出待定的常数。在(3)式中令,得;令,,所以 例2求. 解由于被积函数的分母是二次质因式,,而分母的导数,由于分子是一次式,而分母的导数也是一次式,所以可以把分子拆成两部分之和:一部分是分母的导数乘上一个常数因子;另一部分是常数,即这样,所求的积分可计算如下: ,两端去分母,得. (4)令,得;令,得,把的值代入(4)式,并令,得,. 解因为,所以当有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,只出现多项式、,,故令,并记,其中,(如例2),,,,可得,有理函数的原函数都是初等函数. 二、三角有理式的积分 例5求. 解由三角学知道,与都可以用的有理式表示,即,所以如果作变换,那么,而,从而 .于是本例使用的代换称为万能代换,对三角有理式的积分都可以使用三、简单无理式的积分 例6求. 解为了去掉根号,可以设,于是,,则,,,得例8求解为了同时去掉各个根式,得令例9求. 解为了去定掉根式,可以设,于是,从而所求积分为四、含有反三角函数的不定积分 绝大多数这类题课直接令反三角函数为新变量求解 求 解令于是原积分练****求五、抽象函数的不定积分 所谓抽象函数的不定积分,是指被积函数由抽象函数所构成的一类积分,其解法同样可用换元法和分部积分法 求 解原式练****六、分段函数的不定积分 设,求 解当时,, 当时, 当时, 由于原函数的连续性,分别考虑在处的左、右极限可知有,解之,有,令,则练****求。(1)要认清积分限是被积函数定义域的哪个区间段的端点,然后按段积分求和。(2)当被积函数是给定函数与某一简单函数复合而成的函数时,要通过变量代换将其化为给定函数的形式。切记:与此同时积分限也要相应改变。设,求解当时, 当时, ,综上所述,可知 练****求积分被积函数带有绝对值符号的积分再作积分运算前取点绝对值,其方法是先令绝对值内的式子等于“0”,在积分区间内求出根,再据此把积分区间分成若干个子区间,各子区间上的被积函数的绝对值就可以去掉了(注意符号!!)求