文档介绍：曲面论高斯曲率的计算公式高斯定理。注意,,。所以,利用行列式的性质和矩阵乘法,得,由于,,,所以,于是得到对于曲面上的正交坐标网来说,,此时,。于是,曲面的高斯曲率K被其第一基本形式完全确定,所以高斯曲率也是曲面的内蕴量,公式被称为高斯定理,且被誉为著名的高斯定理。据说,高斯当年发现并证明出来后,非常兴奋,欣喜若狂。半测地坐标网下,高斯曲率的计算公式在类曲面:上选一条测地线为--曲线:;再取与正交的测地线族为--曲线,另取这测地线族的正交轨线为--曲线,则得一半测地坐标网。对于这个半测地坐标网而言,曲面的第一基本形式可以简化为,其中满足条件。在曲面上选取了半测地坐标网后,曲面的高斯曲率有如下的计算公式。常高斯曲率的曲面现在设曲面的高斯曲率是常数,即常数,则得微分方程。根据初始条件:,我们可按以下不同情形求出这个微分方程的解。正常数高斯曲率的曲面,,此时。根据初始条件,可得,于是,。实例:考虑球心在原点,半径为的球面。取赤道为最初给定的测地线,则所有经线是与赤道正交的测地线,所有纬线是这测地线族的正交轨线,因此球面上的经线和纬线构成半测地坐标网。设球面上点的经度为,纬度为,则球面的参数表示是。,,。在球面上重新选择参数,命于是,高斯曲率,因此得到,所以正常数高斯曲率的曲面的第一基本形式与球面的相同。正常数高斯曲率的曲面与同高斯曲率的球面之间存在着保距变换。(2),从而有,因此,所以零高斯曲率的曲面的第一基本形式与平面的相同。(3)负常数高斯曲率的曲面,,此时。根据初始条件,可得,于是,。由此可知,具有相同常数高斯曲率的曲面都可适当选取参数,使曲面具有相同的第一基本形式,,具有常数高斯曲率的曲面(这种曲面称为常曲率曲面)可按K>0;K=0;K<;,高斯曲率为零的曲面都可以与平面建立等距对应,?设,,;代入旋转曲面的高斯曲率公式得其高斯曲率为为了使这个曲面的高斯曲率所以待定函数就必须满足下列方程:,将其改写成,两边积分后得到取积分常数,于是可解出,由此得出,,令,则,于是。因此,以母线绕z-轴旋转后所得的旋转曲面的高斯曲率正好等于负常数。我们把母线()-,,若两个曲面可建立等距对应,.【例1】证明:曲面,(正螺面),(旋转曲面)在点与处的高斯曲率相等,但曲面S与不存在等距对应.【证明】容易算出正螺面与旋转曲面的第一基本形式分别为,再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程)经过计算得出曲面S和的高斯曲率分别为,。因此取对应点,便成立。,它的对应关系为则对应点的高斯曲率必相等,所以得出,即,或;若则或。因此对应关系为这时的第一基本形式,