文档介绍：A与B合同是否一定相似? 浅谈相似矩阵和合同矩阵***摘要:?,定义中都是要求存在一个可逆矩阵,但一个是可逆矩阵的逆,,即都有反身性、对称性、,但并不是等价的,只有二者定义中的可逆矩阵是正交矩阵时,二者才等价. 关键词:相似矩阵;合同矩阵;特征值 1引言相似矩阵与合同矩阵是线性代数中很重要的两个概念,前人对它们进行了很详尽的研究和比较完美的应用,本文从他们的定义出发对它们进行了简单的介绍并对它们的判断方法进行了总结,. 2相似矩阵与合同矩阵的定义及性质 、B为两个n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵C,使得 C?1AC?B 则称A与相B似,记为A~B称可逆矩阵C为相似变换矩阵. 在线性变换中,说同一线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的,反过来,若两矩阵相似,则它们可看成同一线性变换在两组不同基下所对应的矩阵. 相似是矩阵之间的一种关系,它满足反身性,即A~A; 对称性,即若A~B,则有B~A;传递性,即若A~B且B~C,则A~C. ~B,则A?~B,则存在可逆矩阵C,使得 C?1AC?B 两边同时取行列式,得 B?C?1AC?C?1AC?A 性质2可逆的相似矩阵,它们的逆矩阵也相似. 证A,B均为可逆矩阵,且A~B,则存在可逆矩阵C,使得 B?1??C?1AC??C?1A?1C, ?1 即A?1?B?1. 性质3若A~B,则kA?kB,An?Bn其中k是任意常数,~B,则存在可逆矩阵C,使得从而有kB?kC?1AC?C?1?kA?C,即kA?kB. Bn??C?1AC???C?1AC??C?1AC???C?1AC??C?1AnC n 即An?Bn. 性质4若A~B,f?x?是一个多项式,则f?A??f?B?.证设f?x??a0?a1x?a2x???anx因为A~B,所以存在可逆矩阵C,使得 f?B??a0E?a1B?a2B2???anBn ?a0E?a1?C?1AC??a2?C?1AC???an?C?1AC? 2 n ?C?1?a0E?a1A?a2A2??anAn?C?C?1f?A?C 即f?A??f?B?. 性质5相似矩阵有相同的特征多项式,~B,则存在可逆矩阵C,使得而?E?B??E?C?1AC?C?1??E?A?C?C?1?E?AC??E?A即矩阵A与B有相同的特征多项式,从而有相同的特征值. 性质6两个n阶方阵A,B有相同的特征值,证明:它们的特征向量之间相差一个可逆矩阵因子. 证若矩阵A,B相似,则存在X,使得B?X?1AX,进而设A的属于?0的特征向量为?,则??0E?A??=0,于是由A?XBX?1知,??0E?A??=??0E?XBX?1??=0 用X?1左乘上式,得??0E?B?X?1?=?1?是B的属于特征值?,若?为矩阵B的属于特征值?0的特征向量,则X?必为A的属于?0的特征向量. tAtB?另外,~B,则r?r? 且B?diag??1,?2,??n?,??;若A~B, 则?1,?2…?n为A的特征值;若矩阵A,B均可逆,且A~B,则A*?B*. ?E?A等价于?E?,引入以下引理引理1如果有P,Q使得?E?A?P??E?B?Q,则A与B相似. 引理2对于任何不为零的矩阵A和?-矩阵U???,V???,一定存在Q???,R???, U0,V0,使得 U??????E?A?Q????U0V????R?????E?A??V0. 合同矩阵的定义及性质 ,B均为n阶方阵,若存在可逆矩阵C,使得CTAC?B,则称矩阵A与B合同,记A?B 合同是矩阵之间的另一种关系,它满足反身性,即A?ETAE; 对称性,即若B?CTAC,则有A??C?1?BC?1; T 传递性,若A1?C1TAC1和A2?C2TAC12,则有A2??C1C2?A?C1C2?因此,经过非退化的线性替换,,充分必要条件就是它们的矩阵合同. 合同矩阵的性质性质1合同的两矩阵有相同的二次型标准型. 性质2在数域P上,. 例1证明:E与?E在复数域上合同,但在实数域上