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文档介绍：合同变换相似变换,blog 矩阵等价、相似与合同的区别与联系矩阵的相似与合同及其等价条件研究指导老师:王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念,在线性代数的学****中,矩阵的相似与合同作为研究工具,得到广泛的应用[1-10],起着非常重要的作用,能够把要处理的问题简单化[9],本文对矩阵的等价,合同,相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明,对矩阵的应用学****有一定的帮助. 1矩阵的等价与相似及其合同的基本概念矩阵等价的定义[1] 定义如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到,称A与B是等价的. 由于要与矩阵的相似,合同进行比较,上述概念可以约束条件得到: 定义如果n阶矩阵A可以由n阶矩阵B进过有限次初等变换得到,则称A与B是等价的. 根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件,可以用数学语言描述: 定义设矩阵A,B为n阶矩阵,如果存在n阶可逆矩阵P和Q,使得PAQ?B,则称矩阵A与B等价,记作A∽[2] 定义设矩阵A,B为n阶矩阵,如果存在一个是n阶可逆矩阵P,使得 P?1AP?B,则称矩阵A与矩阵B相似,记作A~B. n阶矩阵的相似关系,具有下列性质[3]: 性质反身性,,即如果A~B,则B~,如果A~B,B~C,则A~C. 性质P?1(k1A1?k2A2)P?k1P?1AP?k2A2P. 12 性质P?1(A1A2)P?(P?1A1P)(P?1A2P). 性质若矩阵A与矩阵B相似,,使得P?1AP?B,那么P?1AP可以得到Am与相Bm相似. 性质如果矩阵A、B都是满秩,则A~B,那么B~,使得P?1AP?B,那么P?1AP故可以得到B~A. 性质如果矩阵A~B,那么A?B. 证明存在一个可逆矩阵P,使得P?1AP?B,又因为P?1AP?B,P?1P?1,故可以得到A?B. 性质相似矩阵或者都可逆,,它们的逆矩阵也相似. 证明设B?P?1AP,若矩阵B可逆,B?1?P?1AP也相似. 若B不可逆,则P?1AP不可逆,即A也不可逆. 性质相似矩阵有相同的特征值. 证明设B?P?1AP,?E?B?P?1?EP?P?1AP ?1 ?1 ?1 ?1 ?? m ?Bm?P?1AmP,故?? ?1 ?B?1?P?1A?1P, ?? ?1 ?P?1A?1P,从而B?1和A?1 ?P?1??E?A?P??E?A 故矩阵A的特征值与矩阵B有相同的特征值. 性质相似矩阵有相同的迹. 证明可以设矩阵A与矩阵B相似,那么存在一个可逆矩阵P,使得P?1AP?B, tr?B??trP?1AP ?? ?trP?1PA ?tr?A? ?? ?20??30? ??例1A??,B??03??02??,求分别求矩阵A、B的特征多项式,特征值秩,???? 迹,行列式,矩阵A与B是否相似,它们之间有什么关系? 解从已知可知A? XX ?6,Rank(A)?2,tr(A)?5 对于A的特征多项式?E?A?故A的特征值为2和3. 对于矩阵B,B? 3002 ??2 ??3 ?(??2)(??3) ?6,Rank(B)?2,tr(B)?5 矩阵B的特征多项式B? ??3 00 ?(??2)(??3).??2 故矩阵B的特征值是2和3. ?01??1 PAP?B,从定义矩阵B与矩阵A相似.?存在一个可逆矩阵P??使得?10? ?? 从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4]. ?1?2?4? ?? 例2设实数域上的3级实对称矩阵A???24?2?,对角矩阵??4?21????500? ?? B??050?.求矩阵A、B的特征值,特征多项式并且矩阵A与矩阵B相似吗?如?00?4???果相似求出可逆矩阵P. ??1 解由矩阵A的特征多项式为2 4 242???1 ??1 20 24 ??4 2??42?2??10??1 ??1 ? 242 20 ??4 ???(??5)2(??4)故矩阵A的特征值为5和—4. 容易知道矩阵B的特征多项式和矩阵A的相同, ?1 5??525故矩阵B的特征值为5和-,P????5??0? 4 152 151?53 2??3?1?3?2??3? 验证得到P?1AP?B,那么矩阵A与矩阵B相似,[2] 定义设A,B为n阶矩阵,如果存在一个n阶可逆矩阵C,使得CTAC?B,则称A与B合同,记作A?B. n阶矩阵的合同关系具有下列性质: ⑴反身性:即任一n级矩阵与自身合同.⑵对称性:即如A与B合同,则B与A合同. ⑶