文档介绍：复变函数积分总结复变函数积分方法的思考总结钱学森11陈海琪摘要:函数的积分问题是复变函数轮的主要内容,也是其基础部分,因此有必要总结归纳求积分的各种方法。其主要方法有:利用柯西积分定理,柯西积分公式和用留数定理求积分等方法,现将这些方法逐一介绍。关键词:积分,解析,函数,、计算积分??x?y?ix2?dz,积分路径C是连接由0到1?i的直线段. c 解:y?x?0?x?1?为从点0到点1?i的直线方程,于是??x?y?ix?dz 2 c ? ??x?y?ix?d?x?iy? 2 1?i ? ??x?x?ix?d?x?ix? 2 1 20 1 ??1?i?i?xdx?? 1?i3 . :设f?z?在单连通区域D内解析,C为D内任一条周线,则?f?z?dz c ?0. 柯西积分定理的等价形式:设C是一条周线,D为C之内部,f?z?在闭域 D?D?C上解析,则?f?z?dz?0. c 例2、求? coszz?i ,其中C为圆周z?3i?1, c 解:圆周C为z???3z??1,被积函数的奇点为?i,在C的外部, 于是, coszz?i 在以C为边界的闭圆z?3i?1上解析, coszz?i ?0. 故由柯西积分定理的等价形式得? c 如果D为多连通区域,有如下定理: 设D是由复周线C?C0?C1??C2???Cn?所构成的有界多连通区域,f?z?在D内解析,在D?D?C上连续,则?f?z?dz?0. c ,函数f?z?在D内解析,在D?D?C上连续,则有f?z?? 12?i ??? c f??? ?z? d? ?z?D?,即? f??? c ???z? d??2?if?z?. ? ? c 9???? 2 ?1? ?,其中C为圆周??2. ? 解:? ? ? c 9???? 2 ?1? ?? ?????i?? c 9?? 2 ?5 另外,若a为周线C内部一点,则? dz dz ?2?i c ?z?a? ??z?a? c n ?0 . f?z?在复周线或周线C所围的区域D内,除a1,a2,?an外解析,在闭域 D?D?C上除a1,a2,?an外连续,则?f?z?dz?2?i?Resf?z?. c k?1 z?ak n 设a为f?z?的n阶极点,f?z?? ? ??z? ?z?a? n ,其中??z?在点a解析,??a??0,则 Resf?z?? z?a ?a?. ?n?1?! 5z?2 z?2 ?n?1? ? z?z?1? 2 解:被积函数f?z?? 5z?2z?z?1? 2 在圆周z?2的内部只有一阶极点z?0及z?1, Resf?z?? z?0 5z?2 ?z?2? 2 |z?0??2 ? 2?5z?2? Resf?z????|z?1?2|z?1?2z?1z?z? 因此,由留数定理可得? 5z?2 z?2 z?z?1? 2 ?2?i??2?2??0. ,尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分,常是一个有效的办法,其要点是将它划归为复变函数的周线积分. 计算?R?cos?,sin??d?型积分 02? 令z?e,则cos?? 2? i? z?z2 ?1 ,sin? z?z2i ?1 ,d?? dziz , 此时有?例5.? 2? ?z?z?1z?z?1 ,R?cos?,sin??d???R??z?122i? ?dz ? ?iz.? d?a?cos? ?a?1? 12 解:令z?ei?,则cos?? I? 2i ?z?z?,d? ?1 ? dziz , ??z????z??? z?1 dz ,其中???a?a2?1,???a?a2?1, ???1,?1,??1, 应用留数定理得I? 2?a?1 2(来自:写论文网:复变函数积分总结) . ? 若R?cos?,sin??为?的偶函数,则?R?cos?,sin??d?之值亦可用上述方法求之, 因为此时?R?cos?,sin??d?? ? 12 ?? ? ? R?cos?,sin??d?,仍然令z?ei?. ?tan???ia?d? ? 分析:因为tan???ia?? 1eie 2i???ai2i??ai ??1?1 , 直接令e2i???ai??z,则dz?e2i???ai?2id?, 于是tan???ia?? 解:I? 1 1z?1iz?1 . ?iz?12iz c z?11 dz?? 1 ?2z?z?1? c