文档介绍：二次函数的图象和性质——对称性
学****目标
重点难点
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重点:知道奇函数、偶函数的定义,会判断函数的奇偶性,能运用奇偶性解决简单的问题.
难点:二次函数的区间最值问题.
(1)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=F(x)成立,则称F(x)为偶函数;
(2)如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且F(-x)=-F(x)成立,则称F(x)为奇函数.
预****交流1
奇函数和偶函数的定义域具有什么特点?
提示:奇函数和偶函数的定义域必须关于原点对称,,则它一定是非奇非偶函数.
预****交流2
如果一个函数是奇函数,且在x=0时有定义,那么能否求得f(0)的值?
提示:必有f(0)=(-0)=-f(0)=f(0),从而f(0)=0.
预****交流3
是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?
提示:,解析式经化简后为零的函数既是奇函数又是偶函数,例如:y=+,y=+等就是既奇又偶函数.
(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线x=-;
(2)如果函数f(x)对任意的h都有f(s+h)=f(s-h),那么f(x)的图象关于直线x=s对称.
预****交流4
二次函数图象的对称轴与二次函数的单调性、最值有何关系?
提示:二次函数的单调性与对称轴有关,在对称轴两侧的单调性恰好相反;二次函数的最值恰好在对称轴处取得,若开口向上,则在对称轴处取最小值,反之取最大值.
一、函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x;
(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;
(3)f(x)=x2+;
(4)f(x)=;
(5)f(x)=+.
思路分析:根据定义判断函数的奇偶性时,首先看定义域是否关于原点对称,即定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提;然后判断表达式f(-x)与f(x)之间的关系,若总满足f(-x)=-f(x),则为奇函数,若总满足f(-x)=f(x),则为偶函数.
解:(1)函数定义域为R,且f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)=-f(x),所以该函数是奇函数;
(2)函数定义域为R,且f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以该函数是偶函数;
(3)函数定义域是{x|x≥0},不关于原点对称,因此它是非奇非偶函数;
(4)函数定义域是{x|x≠-1},不关于原点对称,因此它是非奇非偶函数;
(5)要使函数有意义,需满足解得x=±2,即函数的定义域是{2,-2},这时f(x)=0.
所以f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),因此该函数既是奇函数又是偶函数.
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=(x2-1).
解:(1)函数定义域为R,且f(-x)===-f(x).故该函数是奇函数;
(2)函数定义域为{x|