文档介绍：第4讲函数的单调性与最值
★知识梳理
函数的单调性定义:
设函数的定义域为,区间
如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调增函数,称为的单调增区间
如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调减函数,称为的单调减区间
如果用导数的语言来,那就是:
设函数,如果在某区间上,那么为区间上的增函数;
如果在某区间上,那么为区间上的减函数;
函数的最大(小)值
设函数的定义域为
如果存在定值,使得对于任意,有恒成立,那么称为的最大值;
如果存在定值,使得对于任意,有恒成立,那么称为的最小值。
★重、难点突破
重点:掌握求函数的单调性与最值的方法
难点:函数单调性的理解,尤其用导数来研究函数的单调性与最值
重难点:
函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须
先求函数的定义域;
(2)函数单调性定义中的,有三个特征:一是任意性;二是大小,即
;三是同属于一个单调区间,三者缺一不可;
(3)若用导数工具研究函数的单调性,则在某区间上()仅是
为区间上的增函数(减函数)的充分不必要条件。
(4)关于函数的单调性的证明,如果用定义证明在某区间上的单
调性,那么就要用严格的四个步骤,即①取值;②作差;③判号;④下结论。但是要注意,不能用区间上的两个特殊值来代替。而要证明在某区间上不是单调递增的,只要举出反例就可以了,即只要找到区间上两个特殊的,,若,有即可。如果用导数证明在某区间上递增或递减,那么就证明在某区间上或。
(5)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数分别在和内都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的,只能说函数的单调递减区间为和
(6)一些单调性的判断规则:①若与在定义域内都是增函数(减函数),那么在其公共定义域内是增函数(减函数)。②复合函数的单调性规则是“异减同增”
(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。
(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值。
(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得)。
(4)导数法:当函数比较复杂时,一般采用此法
(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围。
★热点考点题型探析
考点1 函数的单调性
题型1:讨论函数的单调性
[例1] (2008广东)设,函数.
试讨论函数的单调性.
[解题思路]分段函数要分段处理,由于每一段都是基本初等函数的复合函数,所以应该用导数来研究。
[解析]: 因为,所以.
(1)当x<1时,1-x>0,
①当时,在上恒成立,故F(x)在区间上单调递增;
②当时,令,解得,
且当时,;当时,
故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增;
(2)当x>1时, x-1>0,
①当时,在上恒成立,故F(x)在区间上单调递减;
②当时,令,解得,
且当时,;当时,
故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增;
综上得,①当k=0时,F(x)在区间上单调递增,F(x)在区间上单调递减;
②当k<0时,F(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间
上单调递增;③当时,F(x)在区间上单调递减,在区间
上单调递增,在区间上单调递减.
【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点,分段落函数用注意分段处理.
题型2:研究抽象函数的单调性
[例2] 定义在R上的函数,,当x>0时,,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b).
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)是R上的增函数;
(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围.
[解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”,从关键等式和不等式的特点入手。
[解析](1)证明:令a=b=0,则f(0)=f 2(0).
又f(0)≠0,∴f(0)=1.
(2)证明:当x<0时,-x>0,
∴f(0)=f(x)·f(-x)=1.
∴f(-x)=>≥0时f(x)≥1>0,
∴x∈R时,恒有f(x)>0.
(3)证明:设x1<x2,则x2-x1>0.
∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.
又f(x1)>0,∴f(x2-x1)·f(x1)>f(x1).
∴f(x2)>f(x1).∴f(x)是R