文档介绍：近6年四川高考导数题集锦与分析
2006年:22.(本小题满分14分)
已知函数f(x)的导函数是。对任意两个不相等的正数,证明:
(Ⅰ)当时,;
(Ⅱ)当时,。
证明:本小题主要考查导数的基本性质和应用,函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力,满分14分。
(Ⅰ)由
得
而①
又
∴②
∵∴
∵∴③
由①、②、③得
即
(Ⅱ)证法一:由,得
∴
下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立
即证成立
∵
设,则
令得,列表如下:
极小值
∴
∴对任意两个不相等的正数,恒有
证法二:由,得
∴
∵是两个不相等的正数
∴
设,
则,列表:
极小值
∴即
∴
即对任意两个不相等的正数,恒有
2007年:(22)(本小题满分14分)
本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
设函数.
(Ⅰ) 当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ) 对任意的实数x, 证明>
(Ⅲ) 是否存在,使得an<<恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)解:展开式中二项式系数最大的项是第4项,这项是
(Ⅱ)证法一:因
证法二:因
而故只需对和进行比较。
令,有由,得
因为当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以在处有极小值故当时,,
从而有,亦即故有恒成立。
所以,原不等式成立。
(Ⅲ)对,且
有
又因,故
∵,从而有成立,
即存在,使得恒成立。
2008年:22.(本小题满分14分)
已知是函数的一个极值点。
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围。
此题重点考察利用求导研究函数的单调性,最值问题,函数根的问题;
解:(Ⅰ)因为
所以
因此
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
当时,
当时,
所以的单调增区间是
的单调减区间是
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,在内单调增加,在内单调减少,在上单调增加,且当或时,
所以的极大值为,极小值为
因此
所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点,当且仅当
因此,的取值范围为。
2009年:21、(本小题满分12分)
已知且,函数
(1)求函数的定义域,并判断的单调性;
(2)若;
(3)当(e为自然对数的底数)时,设,若的极值存在,求实数的取值范围以及函数的极值.
本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。
解:(Ⅰ)由题意知
当
当
当….(4分)
(Ⅱ)因为
由函数定义域知>0,因为n是正整数,故0<a<1.
所以
(Ⅲ)
令
当m=0时,有实根,在点左右两侧均有故无极值
当时,有两个实根
当x变化时,、的变化情况如下表所示:
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
的极大值为,的极小值为
当时,在定义域内有一个实根,
同上可得的极大值为
综上所述,时,函数有极值;
当时的极大值为,的极小值为
当时,的极大值为
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