文档介绍：第六章层次分析法
1、层次分析法的思想方法及用途
层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简记AHP)是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法.
特点:将半定性、半定量问题转化为定量问题的行之有效的一种方法,其本质是一种层次化的思维过程.
用途:通过逐层比较多种关联因素为分析评估、决策、预测或控制事物的发展提供定量依据,特别适合于解决那些难于完全用定量方法处理的复杂问题。例如,资源分配、选优排序、军事管理、决策预报等领域.
2、层次分析法的基本步骤
(1)分析实际问题中各因素之间的关系,:目标层、准则层、方案层(或对象层).
(2)对于同一层次的各因素对上一层中某一准则(或目标)的重要性(或影响)进行两两比较,构造两两比较矩阵。
(3)由比较矩阵计算各因素对于每一准则的相对权重,并进行比较矩阵的一致性检验.
(4)计算方案层对目层标的组合权重,进行组合一致性检验,并依据权重大小进行综合排序。
下面结合具体案例介绍层次分析法的一般方法.
层次分析法的一般方法
问题6-1 最佳工作的选择问题
某大学的一位即将毕业的大学生,已参加了多家用人单位的招聘面试,结果他收到了3家用人单位的录用通知.
该学生根据选择工作时所考虑的因素,将三家单位相应的条件进行了比较.
问题:请你帮助该生毕业生析一下,哪家单位是他的最佳选择?
表6-1 三个用人单位的基本情况
收入(元/年)
发展前景
社会声誉
人际关系
地理位置
P1
30000
一般
高
好
大城市
P2
10000
好
中
一般
小城市
P3
50000
较好
中
较好
中等城市
问题6-1“选择最佳工作问题”的层次结构图如下图所示
目标层O
准则层C
选择最佳工作O
单位P1
单位P2
单位P3
方案层P
收入
C1
发展前景C2
社会
声誉
C3
人际
关系
C4
地理
位置
C5
构造两两比较矩阵
设要比较个因素对上一层的影响程度,即要确定它在中所占的比重。对任意两个因素和,用表示和对的影响程度之比,按1~9的比例标度来度量。
即取1,2,…,9及其倒数,,…,,它们代表的意义如下表3所示。
表6-2 比例标度值
标度
含义
1
与的影响相同
3
比的影响稍强
5
比的影响强
7
比的影响明显的强
9
比的影响绝对的强
2,4,6,8
比的影响之比介于上述两个相邻等级之间
1,,…,
与的影响之比为上面的互反数
以全部比较结果()为元素构成的矩阵
A
称为两两成对比较矩阵(或判断矩阵).
显然,,且,所以又称A为正互反矩阵。
由正互反矩阵的性质,只要确定A的上(或下)三角的个元素即可.
如果比较矩阵A的元素具有传递性,即满足
(),
则称A为一致性矩阵,简称一致阵.
例如,在问题6-1选择最佳工作问题中,不妨假设该学生的偏好及1-9比例标度,两两比较准则层中五个因素对目标层的影响程度,比较矩阵:
A
一般地,对于定性因素常用1-.
设个方案(或对象)的某定量因素C的数值分别为,,…,,则方案层对因素C的两两比较矩阵,令.
不难验证(),:
(1)的秩为1,且有唯一非零特征根;
(2)的任一列(行)向量都是对应于特征根的特征向量.
例如,问题6-1中方案层三个单位对准则层中五个因素的两两比较矩阵:
A1, A2,A3,
A4,A5.
三、确定相对权重向量和一致性检验
常用的向量变换方法:归一化法.
设向量,令
,,
则称为向量的归一化向量.
1. 确定相对权重向量的方法
(1)特征根法
设是因素,,…,对目标O的两两比较矩阵.
如果是一致阵,则A有唯一非零特征根,则用特征根对应的归一化特征向量作为因素,,…,对目标O的权重向量,即称为相对权重向量..
如果A不是一致阵,但在不一致的容许范围内,Saaty等人提出用A的最大特征根对应的归一化特征向量w作为相对权重向量,即满足:
A ww
的特征向量w归一化后作为,,…,对目标O的相对权重向量---特征根法.
例如,利用MATLAB软件,可求出选择最佳工作问题中所构造的比较矩阵A的最大特征根为= 4,对于的特征向量为
将归一化处理可得准则层对目标层的相当权重向量为
,
其中上标中的2 表示权重向量为第二层的相对权重向量.
注:计算比较矩阵A的最大特征根的MATLAB命令为