文档介绍：确定性问题的Monte Carlo方法求解
定积分
椭球偏微分方程
线性代数方程组
线性积分方程
非线性方程组
积分计算
条件:
1. g(x)>=0
2.
则I是一个概率积分, I=Pr(a<=<b)
Monte Carlo求解步骤
1. 产生服从分布g(x)的随机变量xi
2. 检查xi是否落入积分区域。 a<=xi<b
3. 计算落入该区域的概率
投点法
0
1
1
G
y=g(x)
随机点(,)
计算落入G的概率
平均值法
任选一个有简便办法可以进行抽样的概率密度函数f(x),是其满足下列条件:
(1) f(x)0, 当g(x) 0时(a x b)
(2)
如果记
如果a、b为有限值,f(x)可取作为均匀分布
具体试验步骤
产生[a, b]上的均匀分布随机变量xi(I=1,2,…,N);
计算均值
例1 求积分值
积分函数
如果取一维平均分布
如果,在区域[a, b]上进行N次均匀抽样xi,则积分值近似为
则
采用均匀分布抽样的方法叫做简单抽样(Simple sampling)
简单抽样
重要抽样
x
x
g(x)
g(x)
图. 简单抽样和重要抽样
重要抽样方法就是,以一个权重函数w(x)为分布密度函数,抽取符合该分布的随机变量Xi,
适当地选取权重函数w(X),使之与原积分函数变化形势相近,则
近似为一常量,则该计算具有很高的精度。
例2 求积分值
积分函数
选用该函数的级数展开式1-x/2+x2/2-x3/6+的一级近似1-x/2作为权重函数w(x)。
如果,在区域[a, b]上进行N次以一个权重函数w(x)为分布密度函数抽样xi,则积分值近似为
椭圆微分方程第一边界值
微分方程及其边界条件
差分方程及其边界条件
迭代法:
所有网格的解
计算机存储单元
效率低
MC方法
叶片
Q
p
Poisson 方程:
边界条件:
D
差分方程:
边界条件:
Pi
Pi1
Pi2
Pi4
Pi3
MC方法:随机游动
设经过ni个内节点P到达边界Q,则该次游动的随机变量取为: