文档介绍：类型一::∵且,函数的定义域为,且, 即时函数取最大值,最大值为法二:∵且,∴函数的定义域为由,得即,解得∴时函数取最大值,【变式1】设且,求的最大值及最小值。利用柯西不等式得,故最大值为10,最小值为-10【变式2】已知,,求的最值. 法一:由柯西不等式于是的最大值为,:由柯西不等式于是的最大值为,最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29,求函数的最大值. 根据柯西不等式, 故。当且仅当2x+1=3y+4=5z+6,即时等号成立,此时, 变式4:设?(1,0,?2),?(x,y,z),若x2?y2?z2?16,则的最大值为。【解】∵?(1,0,?2),?(x,y,z) ∴.?x?2z由柯西不等式[12?0?(?2)2](x2?y2?z2)?(x?0?2z)2? 5?16?(x?2z)2 ? ?4?x?4? ?4?.?4,:变式5:设x,y,z?R,若x2?y2?z2?4,则x?2y?2z之最小值为时,(x,y,z)? 解(x?2y?2z)2?(x2?y2?z2)[12?(?2)2?22]??36∴ x?2y?2z最小值为?6,公式法求(x,y,z)此时∴,,变式6:设x,y,zR,若,则之最小值为________,又此时________。解析:∴最小值∴∴变式7:设a,b,c均为正数且a?b?c?9,则之最小值为解:()(a?b?c)? ().9?(2?3?4)2?81? ??9变式8:设a,b,c均为正数,且,则之最小值为________解:: ∴,最小值为18变式9:设x,y,z?R且,求x?y?z之最大、小值:【解】∵由柯西不等式知[42?()2?22]? ? 25?1?(x?y?z?2)2 ? 5?|x?y?z?2|? ?5?x?y?z?2?5 ∴?3?x?y?z?7故x?y?z之最大值为7,最小值为?3类型二:利用柯西不等式证明不等式基本方法:(1)巧拆常数(例1)(2)重新安排某些项的次序(例2)(3)改变结构(例3)(4)添项(例4)、、为正数且各不相等,求证: 又、、各不相等,故等号不能成立∴。例2.、为非负数,+=1,,求证: ∴>>,求证:解:,,∴,∴所证结论改为证∴例4.,求证: 左端变形,∴只需证此式即可。【变式1】设a,b,c为正数,求证:. ,即。同理,. 将上面三个同向不等式相加得, .【变式2】设a,b,c为正数,求证: 于是即【变式3】已知正数满