文档介绍：高考数学复习专题讲座:第八讲运用数学思想方法解题的策略
第一节运用函数与方程思想解题的策略
函数的主干知识、函数的综合应用以及函数与方程思想的考查,,既有灵活多变的客观性小题,又有一定能力要求的主观性大题,难度有易有难,,与函数相关的试题所占比例始终在20%左右,难度值一般控制在之间.
考试要求:考查逻辑思维能力、等价转换能力、空间想象能力、运算能力、识别能力、:(1)引入变量,确定函数关系;(2)选定主元,揭示函数关系;(3)选取变元,构造函数关系;(4)实际问题,建立函数关系;(5)特殊函数,:(1)待定系数求解方程;(2)分类思想讨论方程;(2)变量代换构造方程.
题型一构造函数和方程解题
,(、、),则有( ).
A. B. C. D.
点拨:方法一通过化简,敏锐地抓住数与式的特点:看作是方程的一个实根,再利用一元二次方程有实数根的充要条件求得;方法二转化为是、的函数,运用重要不等式解题.
解:方法一:依题设有∴是实系数一元二次方程的一个实根; ∴∴故选B.
方法二:去分母,移项,两边平方得:
∴故选B.
易错点:不能合理地转化为是、的函数或构造来解题.
变式与引申1:(2009年山东文科第12题)已知定义在上的奇函数,满足,且在区间上是增函数,则( ).
A. B.
C. D.
题型二函数、方程、不等式三者之间的相互转化
例2.(1)已知,,对于值域内的所有实数,不等式恒成立,求的取值范围.
(2)(2008年广东理科第14题)已知,若关于的方程有实根,则的取值范围是
.
点拨:(1)首先明确本题是求的取值范围,这里注意另一个变量,不等式的左边恰是的一次函数,,选准“主元”往往是解题的关键.(2)求参数的范围,可以先将分离出来,表示为的函数,求出函数的值域,进而得到参数的范围.
解:(1)∵,∴,从而
原题转化为:恒成立,为的一次函数(这里思维的转化很重要)
当时,不等式不成立.∴.
令=为的一次函数,,问题转化为在上恒大于0,则,解得:或
(2)方程即,即
当时,变为,故无解;当时,变为,故;当时,变为,故无解;综上所述,的取值范围是
易错点:(1)“主元”的选取容易选错,误认为是关于的二次函数,导致错误;(2)不能将方程问题转化为函数问题来解,解绝对值不等式时分类不清.
变式与引申2:设不等式对于满足的所有的值都成立,求的取值范围.
题型三函数与方程在解析几何中的应用
例3.(2010年福建理科第17题)已知中心在坐标原点的椭圆经过点,且点为其右焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在平行于的直线,使得直线与椭圆有公共点,且直线与的距离等于4?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
点拨:(1)由右焦点的坐标求得,设左焦点为,由椭圆的定义求得,进而得到椭圆的方程;(2)假设直线存在,设出直线方程,并将直线方程和椭圆的方程联立,表示出直线与的距离,由距离等于4列方程解得.
解:(1)依题意,可设椭圆的方程为,且左焦点为,
从而有,解得
又,所以,故椭圆的方程为
(2)假设存在符合题意的直线,其方程为
由得,因为直线与椭圆有公共点,
所以有解得
另一方面,由直线与的距离为4,可得,从而
由于,所以符合题意的直线不存在.
易错点:忽略.
变式与引申3:设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点,直线与相交于点,与椭圆相交于、两点.
(1)若,求的值;
(2)求四边形面积的最大值.
题型四应用函数与方程研究实际问题
例4.(2010年湖北理科第17题)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,,(单位:万元)与隔热层厚度(单位:)满足关系:,若不建隔热层,.
(1)求的值及的表达式.
(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值.
点拨:(1)利用赋值法,把特殊点代入,,列出的表达式.(2)利用导数基础知识求的最小值.
解:(1)设隔热层厚度为,由题设,每年能源消耗费用为
由,得,因此,而建造费用为
故隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
(2),令,即
解得(舍去)
当时,,当时,
故是的最小值点,对