文档介绍：【备战2014高考数学专题讲座】
第12讲:数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨
3~8讲,我们对数学思想方法进行了探讨,从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中,常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。
反证法是“间接证明法”一类,是从反面的角度的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而得出矛盾。具体地讲,反证法就是从反论题入手,把命题结论的否定当作条件,使之得到与条件相矛盾,肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。
在应用反证法证题时,一定要用到“反设”,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”。
数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与自然数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
一般地,在高中数学中证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤:
(1)证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况;
(2)假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。
结合2012年全国各地高考的实例探讨反证法和数学归纳法的应用:
一、反证法的应用:
典型例题:
例1:(2012年上海市理18分)对于数集,其中,,定义向量集. 若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P. 例如具有性质P.
(1)若>2,且,求的值;(4分)
(2)若X具有性质P,求证:1ÎX,且当n>1时,1=1;(6分)
(3)若X具有性质P,且1=1,(为常数),求有穷数列的通项公式.(8分)
【答案】解:(1)选取,则Y中与垂直的元素必有形式。
∴,从而=4。
(2)证明:取,设满足。
由得,∴、异号。
∵-1是X中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为1。
故1ÎX。
假设,其中,则。
选取,并设满足,即。
则、异号,从而、之中恰有一个为-1。
若=-1,则,矛盾;
若=-1,则,矛盾.
∴=1。
(3)猜测,i=1, 2, …, 。
记,=2, 3, …, 。
先证明:若具有性质P,则也具有性质P。
任取,、Î.当、中出现-1时,显然有满足。
当且时,、≥1。
∵具有性质P,∴有,、Î,使得。
从而和中有一个是-1,不妨设=-1,
假设Î且Ï,则。
由,得,与Î矛盾。
∴Î,从而也具有性质P。
现用数学归纳法证明:,i=1, 2, …, 。
当=2时,结论显然成立。
假设时,有性质P,则,i=1, 2, …, ;
则当时,若有性质P,则
也有性质P,所以。
取,并设满足,即。
由此可得与中有且只有一个为-1。
若,则,所以,这不可能;
∴,,又,所以。
综上所述,,i=1, 2, …, 。
【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系,数学归纳法和反证法的应用。
【解析】(1)根据题设直接求解。
(2)用反证法给予证明。