文档介绍：导数及其应用
要点梳理
=f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为,
若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为.
=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
= 为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,
即f′(x0)= = .
(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x),切线方程为.
(x0,f(x0))
切线的斜率
y-y0=f′(x0)(x-x0)
(x)的导函数
称函数f′(x)= 为f(x)的导函
数,导函数有时也记作y′.
原函数
导函数
f(x)=c
f′(x)=
f(x)=xn (n∈Q*)
f′(x)=
f(x)=sin x
f′(x)=
f(x)=cos x
f′(x)=
f(x)=ax
f′(x)=
cos x
0
-sin x
axln a(a>0)
nxn-1
ex
(1)[f(x)±g(x)]′= ;
(2)[f(x)·g(x)]′= ;
(3) ′= (g(x)≠0).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的
导数间的关系为y ′= ,即y对x的
导数等于的导数与的导数的乘积.
f(x)=ex
f′(x)=
f(x)=logax
f′(x)=
f(x)=ln x
f′(x)=
(a>0,且a≠1)
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
y′·u′
y对u
u对x
x
u
x
要点梳理
在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0f(x)为;
f′(x)≤0f(x)为.
§ 导数的应用
增函数
减函数
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,
①如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧,右侧,
那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x);
②求方程的根;
③检查f′(x)在方程的根左右值的符号.
如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得;
如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得.
f′(x)>0
f′(x)<0
f′(x)<0
f′(x)>0
f′(x)=0
f′(x)=0
极大值
极小值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则为函数的最大值,
为函数的最小值.
(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
①求f(x)在(a,b)内的;
②将f(x)的各极值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
f(b)
f(a)
f(b)
极值
f(a),f(b)
f(a)
解决优化问题的基本思路是:
题型一导数的几何意义
【例1】(12分)已知曲线方程为y=x2,
(1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程;
(2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程.
(1)A在曲线上,即求在A点的切线方程.
(2)B不在曲线上,设出切点求切线方程.
解(1)∵A在曲线y=x2上,
∴过A与曲线y=x2相切的直线只有一条,且A为切点.
2分
∵由y=x2,得y′=2x,∴y′|x=2=4, 4分
因此所求直线的方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0. 6分
思维启迪
(2)方法一设过B(3,5)与曲线y=x2相切的直线
方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k, 8分
y=kx+5-3k,
y=x2
得x2-kx+3k-5=0,Δ=k2-4(3k-5)=0.
整理得:(k-2)(k-10)=0,∴k=2或k=10. 10分
所求的直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0. 12分
方法二设切点P的坐标为(x0,y0),
由y=x2得y′=2x,∴ x=x0=2x0, 8分
由已知kPA=2x0,即=2x0.
又y0= 代入上式整理得:x0=1或x