文档介绍：高中数学基础知识系统导记
(学生可根据自己的实际,选择记忆,突出重点和针对性)
一、集合与简易逻辑
:。
:确定性、无序性、互异性。如若,则。
:列举法、描述法、图示法。其中要特别注意用描述法表示的集合,要弄清楚集合元素的属性,如若A={椭圆},B={直线},则,又若,,则可能有0个或1个或2个元素,再如,,,表示函数的定义域,表示函数的值域,表示函数图象上的点集。
注意:若,,则。
:R表示实数集;N表示自然数集;表示正整数集;Q表示有理数集;Z表示整数集。
,记作:,空集是任何非空集合的真子集;记作:,任何一个集合是它本身的子集,记作:。
:(为全集)。
注意:当或时,要注意考虑与的情况。
=B,则须证明:。
;真子集有个;非空子集有个;非空的真子集有个。
(与非:真假相对;:一真必真;:一假必假)为依据。原命题与其逆否命题是等价命题,逆命题与其否命题是等价命题,当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假
。
:条件不变,否定结论。否命题:条件与结论均否定。其中常见的否定词有:
词语
是
一定
都是
大于
小于
且
任意
至多1个
唯一
词语的否定
不是
不一定
不都是
小于或等于
大于或等于
或
存在
至少两个
不唯一
,那么我们说,是的充分条件,是的必要条件。(或的必要条件是,的充分条件是。)
:
(1)定义法:。
(2)利用集合间的包含关系判断,若,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件。
(3)等价法:即利用等价关系判断,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法。
二、函数
1. 以为自变量的函数是集合A到集合B的一种对应,其中A和B都是非空的数集,对于A中的每一个,B中都有唯一确定的和它对应。自变量取值的集合A就是函数的定义域,和对应的的值就是函数值,函数值的集合C就是函数的值域()。
注:集合中有个元素,集合B中有个元素,则到的映射有个,而到的映射有个。
2. 求函数定义域需要考虑:分母、根号、零次幂的底、对数的真数、对数与指数的底、正余切及复合函数求定义域的两种类型。求函数值域的方法要掌握:配方法,观察法,换元法(整体换元、三角换元),单调性法,反函数法,判别式法,三角函数的有界性,基本不等式法,利用两点间的距离公式法。定义域及值域都必须写成集合的形式。
3. 若有反函数,则是的反函数。
反函数的定义域、值域分别是函数的值域、定义域。
函数和它的反函数的图象关于对称。
(若,则即若点在的图象上,则点必在反函数的图象上)
注意:是的反函数吗?(不是,和互为反函数。)
与它的反函数的交点必在直线上吗?(若为增函数则一定,否则无法判断)如函数与的交点为,交点不在直线上。
4. 设那么
上是增函数;
上是减函数。
设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数。
5. 定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件。(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:,奇函数:)。例如:是奇函数,是非奇非偶。(定义域不关于原点对称)。
奇函数特有性质:若的定义域,则一定有(不在函数的定义域内,则无此性质)。
注意:奇函数关于原点对称,偶函数关于轴对称;奇函数关于原点对称的区间单调性相同,偶函数关于原点对称的区间单调性相反
,简称:奇同偶反。
6. 函数的图象的对称性
(1)函数的图象关于直线对称。
(2)函数的图象关于点对称。
(3)函数满足,则的图象关于直线对称。
(4)若函数对定义域中任意均有,则函数的图象关于点成中心对称图形。
7. 两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线轴对称。
(2)函数与函数的图象关于直线轴对称。
(3)函数与函数的图象关于原点对称。
(4)函数和的图象关于直线对称。
(5)函数和的图象关于直线对称。
(6)函数与函数的图象关于直线对称。
注意对比:函数满足,则的图象关于直线对称。
(7)函数与函数的图象关于直线对称。
8. 曲线图象的对称问题:
(1)曲线关于直线对称曲线为:。
(2)曲线关于直线对称曲线为:。
(3)曲线关于直线对称曲线为:。
(4)曲线关于点对称曲线为:。
9. 若将函数的图象右移、上移个单位,得到函数的图象;
若将曲线的图象右移、上移个单位,得到曲线的图象。
即:函