重积分的对称性和轮换对称性.ppt

文档介绍：重积分的对称性与轮换对称性
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郭予健李尚栋范兴勇
对称性
对于二重积分
的计算,我们总是将其化为二次定积分来完成的,而在定积分的计算中,若遇到对称区间,则有下面非常简洁的结论:
当f(x)在区间上为连续的奇函数时,
当f(x)在区间上为连续的偶函数时,
这个结论,常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分.
在计算二重积分时,若积分区域具有某种对称性,是否也有相应的结论呢?回答是肯定的。下面,我们将此结论类似地推广到二重积分
解:
积分区域D关于坐标区域内任意直线对称
如果积分域D关于直线y=ax+b对称,则二重积分
其中D1为D在以直线y=ax+b为轴的右半平面部分
证明:若区域D对称于直线y=ax+b,不妨设a>0,,平移坐标轴,得坐标系x'o'y'如上图
即
其次,将坐标系x'o'y'沿逆时针方向旋转,旋转角为(tan =a)使x'轴与直线y=ax+'v