文档介绍：学案23 正弦定理和余弦定理应用举例
导学目标: 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
自主梳理
与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.(如图所示)
一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角,如方位角45°,是指北偏东45°,即东北方向.
:相对于某一正方向的水平角.(如图所示)
①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向.
②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向.
③南偏西等其他方向角类似.
坡面与水平面的夹角.(如图所示)
坡面的铅直高度与水平宽度之比,即i==tan α(i为坡比,α为坡角).
运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题,实质是数学知识在生活中的应用,要解决好,就要把握如何把实际问题数学化,也就是如何把握一个抽象、概括的问题,即建立数学模型.
自我检测
,从B处望A处的俯角为β,则α,β之间的大小关系是________.
,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的________方向.
,为了测量某障碍物两侧A、B间的距离,给定下列四组数据,不能确定A、B间距离的是________(填序号).
①α,a,b;②α,β,a;③a,b,γ;④α,β,b.
m高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高为________m.
5.(2010·全国Ⅱ)△ABC中,D为边BC上的一点,BD=33,sin B=,cos∠ADC=,求AD.
探究点一与距离有关的问题
例1 (2010·陕西)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?
变式迁移1 某观测站C在目标A的南偏西25°方向,从A出发有一条南偏东35°走向的公路
,在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去,走20千米到达D,此时测得CD为21千米,求此人在D处距A还有多少千米?
探究点二与高度有关的问题
例2 如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.
变式迁移2 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔高.
探究点三三角形中的最值问题
例3 (2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m),示意图如图所示,垂直放置的标杆BC的高度h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.
(1)该小组已测得一组α、β的值,算出了tan α=,tan β=,请据此算出H的值;
(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使α与β之差较大, m,试问d为多少时,α-β最大?
变式迁移3 如图所示,已知半圆的直径AB=2,点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上的一个动点,以DC为边作等边△PCD,且点D与圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的最大值.
一、解三角形的一般步骤
,准确理解题意.
分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等.
.
,通过合理运用正弦定理、,要算法简练,计算正确,并作答.
,对解进行取舍.
二、应用举例中常见几种题型
测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.
(满分:90分)
一、填空题(每小题6分,共48分)
,那么它的顶角的余弦值为________.
2.(2011·泰州模拟)如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A、B两点的距离为________