文档介绍：
1、已知的大小关系是.
2、设,且恒成立,则的最大值为
3、对于的一切实数,使不等式都成立的实数的取值范围是
4、已知,设,,,那么的大小关系是
5、不等式的解集是.
6、函数的最小值为
7、若,且,则的最小值是.
8、若,则的最大值是.
9、设,求的最小值.
10、求,则s的整数部分
11、圆周上写着红蓝两色的数。已知,每个红色数等于两侧相邻数之和,每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明,所有红色数之和等于0。(俄罗斯)
12、设,求证:.
(第二届“友谊杯”国际数学竞赛题)
乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题2参考答案
1、解法1 ,.
.
解法2 ,.
解法3
=.
解法4 ,.
.
A
B
C
x
y
O b-a b b+a
图1
解法5 如图1,在函数的图象上取三个不同的点A(,)、B(,)、C(,).
由图象,显然有,即,
即,亦即.
解法6 令,单调递减,而,,即,.
2、解法1 原式..而
+,且当,即时取等号...故选.
解法2 ,,已知不等式化为
.由,即,故由已知得,选.
解法3 由,知,,
即,由题意,.故选.
解法4 ,.已知不等式可变形为
.记,
,.故选.
解法5 于是
..
3、解法1 题设等价于或或,即或或,所以或或,即.
解法2 已知不等式即,令,则
当,即时,是的一次函数,因为,即时不等式恒成立,所以在上的图象恒在轴的下方,故有,即,解得.
又当时,,适合题意,当时,不合题意.
故的取值范围是.
4、解法1 设,.,而是减函数,
,即.,,
.,.
解法2 由题意,令,则,, ,,,,是减函数,又,,即..
解法3、,,是单调减函数,,.
,.又
,即
,.
5、解设y= ,由,得定义域为[,3].
即原不等式在定义域内恒成立,故所求解集为[,3].
题目改为“的解集是,结果一样。
6、解法1 .因为两个互为倒数的数,在它们等于时,,即或时,,故时,,.选.
解法2 因为,联想到,于是令,,则.
,当且仅当,即时,.故选.
解法3 设,.
,.
,.
解法4 .由此联想到万能公式:
,故令,则,
.又,,,即..故选
.
解法5 ,,当且仅当,即时取等号..故选.
解法6 ,,.
解法7 由去分母并整理,得.,,即,或.,
,.当时,由,解得,.故选.
7、证明,于是,
,当且仅当时取等号,的最小值是.
推广2 若,且,则
的最小值是.
证明,,
.

,当且仅当
时取等号. 的最小值是.
推广3 若,且,则的最小值是
.
证明由均值不等式得,
,
从而
,
.
8、解法1 引入参数t,,
又,
.考虑到待求最值的二元式是,故令,解得或(舍去),故只需令,,,当且仅当,即时取等号.
.
解法2
即代入待求式,并化简,
,有最大值160.
解法3 ,得,
即.
解法4 ,而
即.
解法5 设代入条件得
令,则

.
解法6 设则
即①.由题设x,y不同时为0,故不妨设,则将①式两边同除以,得当时,
由解得;当时,.
综上, .故.
解法7 .
故当时, .
9B
A
.解可从绝对值的几何意义上去想,以为例,如图:

1 2 3 4
所给的式子的几何意义是数轴上坐标为的点N与坐标为1、2、3、,当N在线段AB之外时,和大于N在线段AB上时的和;当N在线段AB上时,N接近AB的中点,和就逐渐变小,N重合于AB的中点时,,所以当取2或3时,最小.
对于和式S=,设数轴上的点A、B分别表示1949、2001,则线段AB的中点的坐标是
.
拓展运用同样的思想方法,可以得到下面的
定理1 对于函数,
若是奇数,则当时,取得最小值;
若是偶数,则当时,取得最小值
10、解若是等差数列, >0,则
(是公差).由此,得
.
又知=
.,,
评析显然是数列的前项的和,直接求和,?考虑到,于是将变为,再放大为,或缩小为,便使问题获解.
这是一道用“放缩法”求解不等式问题的好题目。但用“放缩法”解题,必须把握好放缩的“度”.就以此题为例,若将
,就得,这样就没法