文档介绍：高中数学联赛模拟试卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.)
: .设,,则集合的所有元素之和为( )
C. 20
,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
,则每个场馆至少有一名志愿者的概率为( )
A. B. C. D.
、为非零的不共线的向量,设条件;条件对一切,( )

,给出下述三个命题:
①满足条件的函数图象关于点对称;②满足条件的函数图象关于直线对称;③函数与在同一坐标系中,,真命题的个数是
( )

. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和,、分别为、的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:
①弦、可能相交于点②弦、可能相交于点
③的最大值为5 ④的最小值为1
其中真命题为( )
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
,,,,则
的大小关系是( )
A. B.
C. D.
8. 设函数,且,,则( )
D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题8分,共48分. 请将正确的答案填在横线上.)
,定义点、之间的“直角距离”为
若到点、的“直角距离”相等,其中实
数、满足、,则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为.
,若点、点满足且
,则称点优于. 如果集合中的点满足:不存在中的其它点优于,则
所有这样的点构成的集合为.
,的系数为.(用数字作答)
,,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为.
,使得每行、每列都恰有两个黑色方格,则有不同的染法.(用数字作答)
,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第棵树种植在点处,其中,当时,
其中,表示实数的整数部分,例如, 按此方案,第2008棵树种植点的坐标为.
三、解答题(本大题共4小题,共62分. 要求有必要的解答过程.)
15.(本小题满分14分)设实数,求证:
其中等号当且仅当或成立,为正实数.
16.(本小题满分14分)甲、乙两人进行乒乓球单打比赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军).对于每局比赛,甲获胜的概率为,“乙获得冠军”的事件称为“爆出冷门”.试求此项赛事爆出冷门的概率.
17. (本小题满分16分)已知函数在区间上的最小值为
,令,,
求证:
18. (本小题满分18分)过直线上的点作椭圆的切线、,切点分别为、,联结
(1)当点在直线上运动时,证明:直线恒过定点;
(2)当∥时,定点平分线段
湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(三)详细解答
:集合的元素:,,,
,故集合的所有元素之和为16. 选A.
2. 解: 设的公比为,则,进而.
所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列.
.
显然,. 选C.
3. 解:5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑:第1类,一个场馆去3人,剩下两场馆各去1人,此类的方法数为种;第2类,一场馆去1人,剩下两场馆各2人,此类的方法数为种. .
4. 解:设,,则表示与共线的任一向量,表示点到直线上任一点的距离,而表示点到的距离. 当时,由点与直线之间垂直距离最短知,,即对一切,,如果恒成立,则,故必为点到的垂直距离,,即. 选C.
:用代替中的,,则,,故①,,则,即点关于点的对称点也在的图象上,故②②是真命题,不难推知③.
6. 解:假设、相交于点,则、共面,所以、、、四点共圆,而过圆的弦
的中点的弦的长度显然有,所以②,当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时,最大为5,故③,最小为1,故④.①