文档介绍：中考试题中的分类讨论思想探析
摘要:数学分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。初中数学教材和学习辅导资料中有这样的问题,中考数学试题中也经常会出现与分类有关的问题。在初中数学教学中使用分类讨论的思想研究和解决问题,有助于让学生发现解题思路和掌握技能技巧,做到举一反三,触类旁通;有助于培养学生学习数学的兴趣;有助于学生数学思维的发展,为学生今后的学习奠定坚实的基础。
关键词:分类思想应用兴趣
初中数学新课程实施以来,数学思想方法逐步引起重视。注重数学分类讨论思想在解题中的研究,对提高学生数学解题能力,培养学生数学的学习兴趣,提高学生的创新意识和实践能力,实现初中数学新课程的教学目标具有重要的现实意义。本文从三个方面阐述了数学分类讨论思想在解题中的运用及教学渗透。
一、数学分类讨论思想方法的定义、原则、方法及其引起的原因。
(1) 数学分类讨论思想方法的定义。
设符合一定条件的全体对象组成集合A,按对象的某一性质P,将A分成若干个真子集A1,A2,…,An,满足:Ai
是集合A的一个分类.( i= 1,2,…,n)要求集合A中的每一个对象划分后所属的Ai是唯一确定的.
有些问题一次分类仍不够,可对Ai(i=1,2,…, n)再进行分类;这就构成对 A的二级分类,依此类推,可以有三级分类,四级分类……
由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想;或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,、完整、严密的解答。
(2) 数学分类讨论思想方法的原则。
由分类的定义可以知道,分类讨论时必须遵循如下原则.
①施行分类的集合的全域必须是确定的;
②每一次分类的标准必须是同一的;
③分类必须是完整的,不出现遗漏;
④各子集域必须是互斥的,不出现重复;
⑤如需多次分类,必须逐级进行,不得越级.
(3) 数学分类讨论思想方法的分类方法。
用分类讨论的思想解答数学问题,一般是按如下过程操作.
①明确讨论的对象,确定对象的全体;
②确定分类标准,正确进行分类;
③逐类进行讨论,获得阶段性的结果;
④归纳小结,综合出结论.
(4) 数学分类讨论思想方法引起的原因。
有关分类讨论的数学问题:需要运用分类讨论的思想来解决的数学问题,
引起分类讨论的原因大致可归结为如下几种:
①涉及的数学概念是分类定义的;
②运用的数学定理、公式,或运算性质、法则是分类给出的;
③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性;
④数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同结果的;
⑤较复杂的或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决的.
(5)数学分类讨论思想的基本形态。
(1)概念分段定义
像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线的斜率、复数的辐角主值等,当这些概念出现时,一般要进行分类讨论.
(2)公式分段表达
在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分段表达的,那么在应用到这些公式时,需分类讨论。
(3)实施某些运算引起分类讨论
在解决数学问题时,不论是化简、求值还是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算时会得到不同结果时,会引起分类讨论.
(4)图形位置不确定
如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如果图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意识,其次要全面考察,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏解.
(5)图形的形状不同
当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进行分析讨论.
(6)字母系数参与引起分类讨论
字母系数的出现,常常会使问题出现多种不同情况影响了问题结果,从而引起分类讨论.
(7)条件不唯一引起分类讨论
由于条件不唯一,可能引起方程类型不确定,曲线种类不确定,
位置关系不确定,形状不确定等出现,需要对不同情况合理分类,正确讨论.
二、探讨了分类讨论思想方法在初中数学解题中的运用:主要是在绝对值解题、应用题的方案、方程或者不等式解题、函数、概率统计、几何作图操作、几何图形运动、圆、代数式参数(字母系数)取值中的运用等等;
{1}分类讨论思想在代数类中的运用。
1、与数与式有关的分类讨论
①化简:|x-1|+|x-2|
②已知α、β是关于x的方程x2+x+a=0的两个实根。
(1)求a的取