文档介绍：函数的周期
观察三月份日历和正弦函数函数值表,说出二者的共同特点:
函数周期性的定义
对于函数y=f(x),如果存在一个 T,使得当时,
都成立,那么就把函数
y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。
f( )=f( )
不为零的常数
sin(x+ )=sinx
2kπ
正弦函数和余弦函数均为周期函数,且周期 T=2kπ(k∈Z且k≠0)
x取定义域内的每一个值
cos(x+ )=cosx
2kπ
(k∈Z且k≠0)
x+T x
思考:周期函数的图象有何特征?
周期函数图象的形状随x的变化有规律的重复变化。
思考:函数f(x)=x2是否为周期函数?如果是,周期是多少?
令f(x+T)=f(x),
即(x+T)2=x2
即x2+2xT+T2=x2,
所以2xT+T2=0
即T(2x+T)=0
所以T=0或T=-2x
因为T=0或T=-2x 均不符合函数周期的要求,所以函数f(x)=x2不是周期函数。
最小正周期的概念:
对于一个周期函数f(x),如果它所有的周期中存在一个
最小的正数,那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。
sin(x+ )=sinx
cos(x+ )=cosx
2π
2π
自变量x只要并且至少增加到x+2π时,
函数值才能重复取得。
正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
最小正周期在图象上的意义:
最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
例题1:求下列函数的周期:
(1)y=3cosx
解:因为3cos(x+ )=3cosx
(x只要且至少增加到x+2π)
2π
所以原函数的周期是2π。
(2)y=sin(x+π/4)
解:因为
sin[(x+ )+π/4]= sin(x+π/4)
2π
所以原函数的周期是2π。
(3)y=sin2x
解:因为sin[2(x+ )]
=sin2x
=Sin[2x+2π]
π
所以原函数的周期是π。
4π
所以原函数的周期是4π。
所以原函数的周期是。
结论:形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A0, xR) 的函数的周期为T=
(A,ω,φ为常数,
A0, xR)
例题1:求下列函数的周期:
f(x)=︱sinx︱
F(x)=cos︱x︱