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2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题。每小题5分,共40分。在每个小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B= ( )
A.{0} B.{-1,0}
C.{0,1} D.{-1,0,1}
,复数(2-i)2对应的点位于( )
B. 第二象限
D. 第四象限
3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的
,输出的S值为
B.
C.
D.
(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=
A. B.
C. D.
,则其渐近线方程为
=±2x =
C. D.
:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于
A.
C. D.
,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0-2y0=
A. B.
C. D.
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6题,每小题5分,共30分.
,点(2,)到直线ρsinθ=2的距离等于
{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q= ;前n项和Sn=
.
,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若PA=3,PD:DB=9:16,则PD= ,AB= .
,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少一张,如果分给同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是.
,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R)
,则= .
,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,1的距离的最小值为.
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15. (本小题共13分)
在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.
(I)求cosA的值,
(II)求c的值
16.( 本小题共13分)
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天
(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率
(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望。
(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)
17. (本小题共14分)
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.
18. (本小题共13分)
设L为曲线C:在点(1,0)处的切线.
(I)求L的方程;
(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方
19. (本小题共14分)
已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积.
(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
20. (本小题共13分)
已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn
(I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,),写出d1,d2,d3,d4的值;
(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;
(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3…),则{an}的项只能是1或2,且有无穷多项为1
要使可行域存在,必有m<-2m+1,要求可行域内包含直线上的点,只要边界点(-m,1-2m)在直线上方,且(-m,m)在直线下方,解不等式组得m<