文档介绍：第五章微分方程模型
传染病模型
经济增长模型
正规战与游击战
药物在体内的分布与排除
香烟过滤嘴的作用
人口预测和控制
烟雾的扩散与消失
万有引力定律的发现
动态模型
描述对象特征随时间(空间)的演变过程
分析对象特征的变化规律
预报对象特征的未来性态
研究控制对象特征的手段
根据函数及其变化率之间的关系确定函数
微分方程建模
根据建模目的和问题分析作出简化假设
按照内在规律或用类比法建立微分方程
传染病模型
问题
描述传染病的传播过程
分析受感染人数的变化规律
预报传染病高潮到来的时刻
预防传染病蔓延的手段
按照传播过程的一般规律,用机理分析方法建立模型
已感染人数(病人) i(t)
每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为
模型1
假设
若有效接触的是病人,则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
建模
?
模型2
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设
1)总人数N不变,病人和健康人的比例分别为
2)每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病
建模
~ 日
接触率
SI 模型
模型2
1/2
tm
i
i0
1
0
t
tm~传染病高潮到来时刻
(日接触率) tm
Logistic 模型
病人可以治愈!
?
t=tm, di/dt 最大
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成为健康人,健康人可再次被感染
增加假设
SIS 模型
3)病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模
~ 日接触率
1/~感染期
~ 一个感染期内每个病人的有效接触人数,称为接触数。
模型3
i0
i0
接触数=1 ~ 阈值
感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数
1-1/
i0
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
i
di/dt
0
1
>1
0
t
i
>1
1-1/
i
0
t
1
di/dt < 0
模型4
传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统,称移出者
SIR模型
假设
1)总人数N不变,病人、健康人和移出者的比例分别为
2)病人的日接触率, 日治愈率,
接触数= /
建模
需建立的两个方程
模型4
SIR模型
无法求出
的解析解
在相平面上
研究解的性质