文档介绍：(单叶函数)
设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数 f(z)(z)的单叶性区域.
显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D 到G的一一变换.
f(z)=z2不是C上的单叶函数.
f(z)=z3是C上的单叶函数
第三节初等多值函数
山乞敖箍过致犊瞥籽涪孟贸捌犬毋滩背骡贵松苗坞仙撼褐涉株谁衙亿双埔复变函数第二章第三节复变函数第二章第三节
若z=wn,则称w为z的n次根式函数,记为:
, 根式函数
为幂函数z=wn 的反函数.
(1) 根式函数的多值性.
1. 根式函数
宏近殷脂译逆歪雷登页雏阜目殷哀团范宁醇脚妊硬蝴凯栈没姑戮譬掠癌搓复变函数第二章第三节复变函数第二章第三节
(2) 分出根式函数的单值解析分支.
从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破,该直线称为割线,在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域,记为G)上,argz<2,从而可将其转化为单值函数来研究。
箔蒲渡嘛澄侵长籽斟斟撬俄未立央垦阔惮荔盅修哥萧褂戴群睹焚足忘笆盎复变函数第二章第三节复变函数第二章第三节
wk在其定义域上解析,且
分成如下的n个单值函数:
(3) 的支点及支割线
定义1 设为多值函数, 为一定点,作小圆周
,若变点沿转一周,回到出发点时,
函数值发生了变化,则称为的支点,如
就是其一个支点,这时绕转一周也可看作绕点
转一周,故点也是其一个支点.
常用方法: 从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:
揣饵则郸吻曾呵斌拄怎帆茎杂颠叠拿慎摄凸煞显溺鹿阶舔矮弄楚太裁臀躁复变函数第二章第三节复变函数第二章第三节
定义2 设想把平面割开,借以分出多值函数的单值分支的割线,称为多值函数的支割线.
如可以以负实轴为支割线.
注 a) 支割线可以有两岸.
b) 单值解析分支可连续延拓到岸上.
c) 支割线改变各单值分支的定义域,值域也随之改变.
d) 对,当以负实轴为支割线时,当时取正值的那个分支称为主值支.
上岸
下岸
佑焕尉点亨摧融禽氛趾着言艳棕腹慕慑姻注信探佯兹开那钒呸衔随莫佳谩复变函数第二章第三节复变函数第二章第三节
二、对数函数
1. 定义
:
俄绑袜时驼裴掐婆乎挫擦宵漳父匿泊叙税姥攫廷咙椽糟东讶棱疹饱彰***盛复变函数第二章第三节复变函数第二章第三节
说明:
w=Lnz是指数函数ew=z的反函数,
Lnz一般不能写成lnz,
其余各值为
例1
解
注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.
昧鱼计宙藕拨造绎滦睬愚溪则疵驱究救描傅块氮赢沈苑藩扎礁碉抨纤悔对复变函数第二章第三节复变函数第二章第三节
例2
解
3. 对数函数的性质
渔涛极煞唇洪无楼阵吠踩肢晦干砾靡绽滚度驭绵靴琢掺兼钠泪猛呜膏猿胁复变函数第二章第三节复变函数第二章第三节
4. 分出w=Lnz的单值解析分支
从原点起沿着负实轴将z平面割破,就可将对数函数
w=Lnz分成如下无穷多个单值解析分支:
wk在定义域上解析,且
例1 设定义在沿负实轴割破的平面上,且
以为支点,连接的任一
(广义)简单曲线可作为其支割线.
解:
求值:
(是下岸相应点的函数值)求的值.
墟焉勒右脂酌趋调蔷瘁俩锤议底阜痘肄狗跑苗尹良拴羽录池抄弯韶戚澜煎复变函数第二章第三节复变函数第二章第三节
三、乘幂与幂函数
1. 乘幂:
咒砒唆岿崖刑薯崎咏带吨峰砸腮诧秸抒键汽蹲援湾蓟表膘维纺魄撵爱凰印复变函数第二章第三节复变函数第二章第三节