文档介绍：朱哲张维忠(浙江师范大学数理与信息科学学院321004)对中西古代数学文化的深入研究,特别是这种历史的挖掘,目的还是为了指向现实、着眼于未来。本文给出的一则基于数学史的教学案例,正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透,在传统与现代之间架起一座桥梁,从而实现数学教育的现代化。1教学案例::我们已经学过了棱锥,我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。如果我们在它顶部截去一个小的正四棱锥,就得到一个正四棱台(模型演示)。假如这个正四棱台下底面正方形边长为a,上底面边长为b,高为h,那么它的体积该如何表示呢?今天我们就来研究这个问题。生1:既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到,我就可以通过大正四棱锥体积减去小正四棱锥体积来求(演算:设小正四棱锥高为,则大正四棱锥小正四棱锥=……)。我做不下去了。、猜想、实验师:这位同学的思路非常好,只是暂时遇到了困难。我们把这一问题放一边,先来猜想一下正四棱台体积的公式。大家回忆一下一些图形的面积和体积公式(与学生一起填写下表)。生2:我想,因为梯形面积公式为。生3:我觉得应该是,因为正四棱锥体积公式中有系数,且当时,,即为正四棱锥体积公式。师:这些公式对不对呢?我们来做个实验。我这里有个空心的正四棱台容器,上底边长米,下底边长米,高米,里面装满沙子。由生2的公式得沙子体积为立方米,由生3的公式得立方米。我们再把沙子倒入底面边长为米的柱形容器,量一下,高为多少?约为米,体积约为立方米。看来上面两个公式都不是很准确。———————※本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”(DHA010276)阶段成果。生4:梯形面积公式中系数是,是因为括号内只有两项。那么,如果正四棱台体积公式系数取,则括号内应有三项,除了、我想还应有,也即,计算。这与我们的实验结果一致。另外,当时,是正四棱锥的体积公式;当时,是正方体的体积公式。我想这个公式应该是正确的。:大家同意他的观点吗?(同意!)那好,下面我们就来证明或者说是推导这个公式。用什么方法来推导呢?刚才我们是通过类比的方法归纳出这个公式的,那我们能不能用类似求梯形面积的方法来求正四棱台的体积呢?我们不妨试试看,我先请同学们说出尽可能多的梯形面积公式的推导方法。生5:(如图1)平行四边形=。(图1)(图2)生6:(如图2)设小三角形高为,大三角形高为,因为这两个三角形相似,所以,即。。生7:(如图3)。(图3)生8:(如图4)。(图4)(图5)师:有没有其他方法?还记得我们以前是如何证明梯形中位线定理的?生9:(如图5)三角形=。师:接下来我们就利用类似的方法试着来推导正四棱台的体积公式。第一组用生5的方法,第二、三、四组同学分别用生6、7、8的方法。如果你觉得这种方法做不出或者做出来了,请再用生9的方法推导。(学生独立思考、互相讨论来解决问题,教师适当介入,给予提示指导。当第四小组完成其推导后,教师再给他们一道思考题:有这样一个四棱台,它的两个底面是长方形。上底面边长分别为,下底面边长分别为,高,求其体积。)(生10):我们认为利用两个或多个正四棱台拼在一起无法推导其体积公式。第二组(生1):刚才我做不下去,现在我会了。(继续。第三组(生11):我们将正四棱台分成