文档介绍:2008年东莞市高中数学竞赛决赛试题
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,,.)
,则一定不是( )
,则=( )
A. B. C. D.
,一个空间几何体的正视图,左视图,俯视图均为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长都为1,那么这个几何体的体积为( )
正视图
左视图
俯视图
A. B. C.
4. 若、两点分别在圆上运动,则的最大值为( )
,且,若,那么,下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
,则( )
C. -1
二、填空题(本大题共6小题,每小题6分,.)
否
结束
(第7题图)
输出
是
输入
,可制造出一
系列的数据,其工作原理如下:①若输入数据,
则发生器结束工作;②若输入数据时,则发生
器输出,其中,
定义,.若输入,那么,
当发生器结束工作时,输出数据的总个数为.
(1,1)到直线的距离为,则的最大值是.
9. 从[0,1]之间选出两个数,.
(,其中为正整数)的值域中共有2008个整数,则正整数.
11. 把1,2,3,…,100这100个自然数任意分成10组,每组10个数,将每组中最大的数取出来,,最小值为,则.
,,其中符号表示不大于x的最大整数,则.
三、解答题(本大题共6小题,、证明过程或演算步骤.)
13.(本小题满分12分)
已知向量,.
(1)求证:为直角;
(2)若,求的边的长度的取值范围.
14.(本小题满分12分)
,且函数在内恰有一个零点,求
的值.
15.(本小题满分12分)
设、是函数图象上两点, 其横坐标分别为和, 直线与函数的图象交于点, 与直线交于点.
(1)求点的坐标;
(2)当的面积大于1时, 求实数的取值范围.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
16.(本小题满分14分)
如图,在正方体中,、分别
为棱、的中点.
(1)求证:∥平面;
(2)求证:平面⊥平面;
(3)如果,一个动点从点出发在正方体的
表面上依次经过棱、、、、上的点,最终又回到点,指出整个路线长度的最小值并说明理由.
17.(本小题满分14分)
已知以点为圆心的圆与轴交于两点,与轴交于、
两点,其中为坐标原点.
(1)求证:的面积为定值;
(2)设直线与圆交于点,若,求圆的方程.
18.(本小题满分14分)
对于函数,若,则称为的“不动点”,若,则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和,即,.
(1)求证:;
(2)若,且,求实数的取值范围;