文档介绍：立体几何中的向量方法
C
B
B1
C1
A1
A
D
·
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,⊿ABC是等腰直角三
角形,∠BAC=90°,AB=1,BC=BB1,E、F分别为AB、
AC的中点,D为EF的中点。1A1所
成的角。
F
E
在空间中,取一定点o作为基点,那么空间中任意一点p的位置就可以用向量 op来表示。把向量op称为点p的位置向量
p
·
o
·
从形:
设点o(x1,y1,z1),点p(x2,y2,z2),向量op=(a,b,c),则有 x2=a+x1
y2=b+y1
z2=c+z1
从数:
实例:o点处有个人想去Q点,可不知道路,警察告诉他说往北走150米就到了。若改变此人当时的位置或者警察说错了,他还能准确地找到Q点吗?类似的,你如何找到(确定)空间的一个点p?
一、用向量表示点、线、面
练****如图,长方体的各棱长分别为2、3、6,请以A点为基点说出A1、C1、D1的位置向量及这些点的坐标。
2
3
6
B
A
D
C
B1
A1
D1
C1
a
A
p
从形上:
从数上:
一个定点和一个方向向量可以确定直线及直线上的任意
一点。
在直线上任取一点P,那么向量AP和向量a有什么关系?
共线
AP= t a, 实数 t与点P是一一对应的。
已知一条直线过点A,你能否用其方向向量a表示该直线上的任意一点?
如果直线⊥平面,取直线的方向向量a,则向量a 叫做平面的法向量。
请举例说说一个平面的法向量。并说说你能得出哪些结论
a
b
c
(1)一个平面的法向量有无数个。
(2)平面的法向量与平面上的任意向量是垂直的。
·
o
b
a
·
P
P为平面上的任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y)使得 OP=xa+yb.
从形:
从数:
一个点和两个向量能确定一个平面及平面内的任意一点。
如图,你能否用向量来表示平面上的任意一点P?
有序实数对(x,y)与点P是一一对应的
从形:
·
A
·
P
a
从数:
一个定点和平面的一个法向量,不仅可以表示出平面,还可以表示出平面内的任意一点。
直线的方向向量和平面的法向量太重要了
a⊥AP a·AP=0
是否还有其它用向量确定平面的方法?
u⊥v
u·v=0
a1a2+b1b2+c1c2=0
l
v
有了向量的运算,才有几何关系的结论。
l⊥
l
u
u∥v
u=kv
(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)
a1=ka2, b1=kb2, c1=kc2
u
思考:设平面外的直线的方向向量是u=(a1,b1,c1),平
面的法向量是v=(a2,b2,c2),若∥,则向量u和向量
v有什么关系?
∥
若将问题换为⊥,则u和v又是怎样的关系?
二、用向量表示立体几何中的垂直、平行和夹角
设直线、的方向向量分别为a、b,平面、的法向量分别为u、v,则
a∥b
a= b, ∈R
a⊥b
a · b = 0
a∥u
a⊥u
a · u = 0
a= u, ∈R
∥
⊥
∥
⊥
∥
⊥
u∥v
u= v, ∈R
u⊥v
u · v = 0
线线、线面、面面之间的平行和垂直
练练看: 见教材P104