文档介绍：:(1)理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值与特征向量.(2)了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对角矩阵.(3):(1)方阵的特征值与特征向量.(2)::线性方程组和线性组合都涉及方阵和向量的运算:.从矩阵上提出的问题是:能否找一个数和一个非零向量,使,,接着讨论特征向量的性质,为矩阵相似对角化作准备,:§:为了简化运算,希望能找到一个数和一个非零向量,使,:对于阶方阵,若有数和向量满足,称为的特征值,:特征方程:或者有非零解特征矩阵:或者特征多项式:的特征值与矩阵又有什么关系呢?定理1:设阶方阵的个特征值为则(1)称为矩阵的迹。(主对角元素之和)(2),例3见书第136、。由齐次线性方程组解得性质得:当是对应于的特征向量时,它们的任何非零线性组合:仍是关于的特征向量。在此,我们重点关注矩阵的特征向量的线性相关性。定理2:设是矩阵的不同特征值所对应的特征向量,则是线性无关的。定理3:矩阵的个不同特征值所对应的组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。定理4:设是阶方阵的一个重特征值,则对应的特征向量中线性无关的最大个数由以上定理可知,若有个互异的特征值:则每个仅对应一个线性无关的特征向量,从而共有各线性无关的特征向量。:,求的特征向量:,,(不同时为0)例5设的特征值为,求. 解设,则的特征值为故思考题:设4阶方阵满足条件:求的一个特征值。(答案:)作业****题册第五章第一节。§:对于阶方阵和,若有可逆矩阵使得,称相似于,,这种关系具有下列三个性质:(1):(2):(3)若两个矩阵相似时,我们可以得到什么结论呢?定理1:设阶方阵和相似,则有(1)(2)和的特征多项式相同,即从而和的特征值相同。证明:性质(1),(2)显然,下面只证明性质(3).因为故存在可逆矩阵使于是显然,若方阵与对角阵相似,则对角阵对角线上的元素即为的特征值。例1:设矩阵与,求解:利用得到方程再利用,得到有了对角阵,我们可以利用它来计算矩阵的方幂:若,,. ,则有因为为可逆矩阵,所以它的列向量组线性无关. 上式表明:,且满足,则为可逆矩阵,且有即.[注],重数依次为,则可对角化的充要条件是,对应于每个特征值,:(1),(2)