文档介绍：线性代数第14讲
二次型
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二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨论的有心二次曲线, 当中心与坐标原点重合时, 其一般方程是 ax2+2bxy+cy2=f (1) 方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于研究这个二次曲线的几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程 a'x'2+c'y'2=f (2) 在二次曲面的研究中也有类似的问题.
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二次型的定义和矩阵表示合同矩阵
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定义1 n元变量x1,x2,...,xn的二次多项式
当系数属于数域F时, 称为数域F上的一个n元二次型. 本章讨论实数域上的n元二次型, 简称二次型.
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由于xixj=xjxi, 具有对称性, 若令 aji=aij, i<j, () 则2aijxixj=aijxixj+ajixixj(i<j), 于是()式可以写成对称形式
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记
X=[x1,x2,...,xn]T. 二次型()可以用矩阵乘积形式简单表示为
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把A称为二次型对应的矩阵, 对于任意一个二次型(), 总可以通过()使其写成对称形式(), 并对应矩阵A. 由()知, A为对称矩阵, 又若A,B为n阶对称方阵, 且 f(x1,x2,...,xn)=XTAX=XTBX, 则必有A=B. 故二次型和它的矩阵是相互唯一确定的. 所以, 研究二次型的性质转化为研究A所具有的性质.
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例1 设
则它的矩阵为
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一个二次型XTAX也可看成n维向量a的一个函数, 即 f(a)=XTAX. () 其中X=[x1,x2,...,xn]T是a在Rn的一组基下的坐标向量. 所以二次型XTAX是向量a的n个坐标的二次齐次函数. 因此二次型作为n维向量a的函数, 它的矩阵是与一组基相联系的.
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如果a在两组基{e1,e2,...,en}和{h1,h2,...,hn}下的坐标向量分别为 X=[x1,x2,...,xn]T和Y=[y1,y2,...,yn]T, 又 [h1,h2,...,hn]=[e1,e2,...,en]C, 于是 X=CY. () 如此则有二次型 f(a)=XTAX=YT(CTAC)Y, () 即二次型f(a)在两组基{e1,e2,...,en}和{h1,h2,...,hn}下所对应的矩阵分别为 A 和 CTAC 其中CTAC仍是对称阵, YT(CTAC)Y是y1,y2,...,yn的一个二次型.
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