文档介绍：高等数学学****笔记亳州市谯城区估衣小学唐士刚第一章函数实数一、数的拓展按照****惯,为简便起见:自然数集—N,整数集—Z,有理数集—Q,实数集—R,建立了实数轴之后,就建立了实数→对应数轴的点,、数轴规定了原点,正方向和单位长度的直线叫数轴。所有的实数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。画一条水平直线,在直线上取一点表示0,选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。所以原点、单位长度、正方向是数轴的三要素。利用数轴可以比较实数的大小,数轴上从左往右的点表示的数就是按从小到大的顺序。三、区间设数a,b,且a<b,则实数集{x|a<x<b}称为开区间,记为(a,b)即(a,b)={x|a<x<b}.a称为区间(a,b)的左端点,b称为(a,b),a(a,b)b(a,b),.类似的有:闭区间:[a,b]={xa≤x≤b},a∈[a,b],b∈[a,b]半开区间:[a,b)={x|a≤x<b},a∈[a,b),b[a,b](a,b]={xa<x≤b},a(a,b],b∈(a,b]以上a,b都是实数,上述区间(a,b),[a,b],[a,b)(a,b]都是有限区间,数(b-a)"+∞"——正无穷大,∞"——负无穷大,类似地有:"[a,+∞)={x|x≥a}(a,+∞)={x|x>a}.(∞,b]={x|x≤b},(∞,b)={x|x<b}实数集R=(∞,+∞)四、绝对值1、代数定义: |a|=a(a>0) |a|=-a(a<0) |a|=0(a=0)意义:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,、几何意义: 在数轴上,:指在数轴上表示的点与原点的距离,这个距离是5,,常量与变量圆的半径R周长L=2∏R面积A=∏,Y,f是一个确定的对应法则,若x∈X,通过对应法则f都有唯一的y∈Y和它对应,记为:f(x)=y则称f为定义在X上的一元函数简称为函数。X——f的定义域,常记D,x—自变量,y—,那么与之对应y的值构成了一个数集V={y|y=f(x),x∈X},,函数概念包含的几个重要内容(1)定义域(2)函数值(3)值域4,表示函数的常用方法1、解析法(公式法)如:L=2∏R2、图像法3、列表法三,定义域与函数值的求法举例1,显函数y=f(x)的定义域与函数值。例1、求函数y=的定义域D,及函数值f(1/2)。例2求函数f(x)=的定义域D及函数值f(3).2、分段函数的定义域及函数值例3、求y=|x|的定义域D及值域f(1/2)例4求y=的定义域D,值域V及f(-1).例5设x∈R,不超过x的最大整数记为[x].函数y=[x],值域V。四、函数的性质1、有界性若3M>|f(x)|≦M,I,则称函数f(x)在区间I上有界,否则称f(x)在区间I上无界,,即对任何M>0,总3x1∈I,使f|(x1)|>M,那么f(x)在I上无界。例如:f(x)=sinx在区间(∞,+∞)内是有界的(Qsinx≤1,x∈(∞,+∞)),f(x)=在区间(0,1),无论给定多么大的正数M(不妨设M>1),必有x1=∈(0,1)f(x1)=2M>M,故f(x)=1在(0,1)(x)=sinx在x∈(-∞,+∞)、单调性(包括单调增加,单调减少)若函数f(x)在区间I上,对任何x1,x2∈I,x1<x2恒有f(x1)<f(x2)(或恒有f(x1)>f(x2)),则称函数f(x)在区间I上为严格单调增加((或严格单调减少)(x)在区间I上,I,x1<x2恒有f(x1)≤f(x2)(或恒有f(x1)≥f(x2))则称函数f(x)在区间I上为广义单调增加((或广义单调减少)的函数,通常称为单调增加(或单调减少):函数y=x2在区间(∞.0)内是严格单调减少的,在区间(0,+∞)、奇偶性(1)偶函数:若f(x)在关于原点对称的区间Ⅰ上,满足f(–x)=f(x),则称f(x)为偶函数.(2)奇函数:f(x)在关于原点对称的区间Ⅰ上,若满足f(–x)=–f(x),则称f(x),函数y=cosx为偶函数y=sinx为奇函数,而y=cosx+sInx既非偶函数,、周期性对于函数y=f(x),如果存在一个非零的常数T,对一切的x均有f(x并把使上式成立的最小正数T称为f(x)的+T)=f