文档介绍：:蒀腿讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数?羇蒁解:(1)(2)不是;(3)是。:芇蒆问是分布函数吗?膁解:不是。,且为连续函数,则在上一致收敛于。莆证:对任意的,取充分大,使有袅袁对上述取定的,因为在上一致连续,故可取它的分点:,使有,再令,则有蒀(1)螈这时存在,使得当时有芅(2)蚂成立,对任意的,必存在某个,使得,由(2)知当时有蒁(3)蒁(4)艿由(1),(3),(4)可得羇,袃,袃即有成立,结论得证。,证明这时必有。螇证:对任意的有,故羄羂即对任意的有成立,于是有蒂蒇从而成立,结论得证。,分别依概率收敛于随机变量与,证明:肀(1);(2)。袁证:(1)因为故芈螃即成立。蒃(2)先证明这时必有。对任给的取足够大,使有成立,对取定的,存在,当时有成立这时有芀羈袄薁从而有蚀虿由的任意性知,同理可证,由前述(1)有袆羃故,结论成立。,是一个常数,且,证明。葿证:不妨设对任意的,当时有,蚃因而。于是有肂薈羅。螅结论成立。:羈蚆证:充分性,令,,则,故是的单调上升函数,因而,于是有螆薂蚁对任意的成立,充分性得证。莆必要性,对任给的,令,因为,故存在充分大的使得当时有,于是有薃蚁,肁由的任意性知,结论为真。,又数列,,证明也按分布收敛于。蚅证:先证明按分布收敛于。时为显然,不妨设(时的修改为显然),若,,,的分布函数分别记作,,与,则=,当是的连续点时,是的连续点,于是有羃薀成立,结论为真。,(1)知,,结论得证。,随机变量序列依概率收敛于常数,证明按分布收敛于。螆证:记的分布函数分别为,则的分布函数为,设是的连续点,则对任给的,存在,使当时有肂(1)罿现任取,使得都是的连续点,这时存在,当时有蚇(2)薃(3)蒄对取定的,存在,当时有荿(4)莈于是当时,由(1),(2),(4)式有薅又因为薂袈于是由(1),(3),(4)式有膈(6)蚆由(5),(6)两式可得蚁蒁由的任意性即知按分布收敛于,结论得证。,随机变量序列依概率收敛于,:记的分布函数分别为,对任给的,取足够大,使是的连续点且羁虿因为,故存在,当时有蒅膁令,因为,故存在,当时有莀肅而薆薄其中,当时有螀袅因而,由的任意性知,结论为真。,其密度函数为蚂艿证明。薆证:对任意的,有莅螁故。,其密度函数为莆蒆其中为常数,令,证明。膃证:对任意的,为显然,这时有肈肇芄对任意的,有芁螁故成立,结论得证。,其密度函数为莅蚄令,证明。膀证:设的分布函数为,有薇膃这时有螂蚀对任意的,有芈膄故成立,结论得证。,都服从上的均匀分布,若,证明。