文档介绍：第4讲直线与圆的位置关系★知识梳理★:①几何法:通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断,设圆心到直线的距离为,圆半径为,若直线与圆相离,则;若直线与圆相切,则;若直线与圆相交,则②代数法:通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断,即通过判别式来判断,若,则直线与圆相离;若,则直线与圆相切;若,(1)设两圆半径分别为,圆心距为d若两圆相外离,则,公切线条数为4若两圆相外切,则,公切线条数为3若两圆相交,则,公切线条数为2若两圆内切,则,公切线条数为1若两圆内含,则,公切线条数为0(2)设两圆,,若两圆相交,:①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个,即来求解。特殊地,已知切点,圆的切线方程为,①以点为圆心的圆系方程为②过圆和直线的交点的圆系方程为③过两圆,的交点的圆系方程为(不表示圆)★重难点突破★重点:根据给定的方程判定直线与圆、圆与圆的位置关系;利用直线和圆、圆与圆的位置关系的充要条件解决一些简单的问题;难点:借助数形结合,利用圆的几何性质,将题目所给条件转化为圆心到直线的距离、两圆的连心线或半径的和与差重难点:将方程的理论与圆的几何性质相结合,并加以运用1、把握直线与圆的位置关系的三种常见题型:①相切——求切线②相交——求距离③相离——求圆上动点到直线距离的最大(小)值;问题1:直线与圆相切,则实数等于【解析】圆心为,半径为,或2、解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有:①数形结合,善于观察图形,充分运用平面几何知识,寻找解题途径②等价转化,如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题,把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题,把弦长问题转化为弦心距问题等③待定系数法,还要合理运用“设而不求”,简化运算过程3、①圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系②公共弦满足的条件是:连心线垂直平分公共弦★热点考点题型探析★考点1直线与圆的位置关系题型1:判断直线与圆的位置关系[例1](2010北京海淀)设m>0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=[解析]圆心到直线的距离为d=,圆半径为.∵d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0,∴【名师指引】判断直线与圆的位置关系的两种方法(代数法、几何法)中,几何法更简便题型2:求解圆的切线、弦长问题[例2]已知圆,是轴上的动点,、分别切圆于两点(1)若点的坐标为(1,0),求切线、的方程(2)求四边形的面积的最小值(3)若,求直线的方程【解题思路】(2)用一个变量表示四边形的面积(3)从图形中观察点满足的条件解析:(1)设过点的圆的切线方程为,则圆心到切线的距离为1,或0,切线、的方程分别为和(2),(3)设与交于点,则,在中,,即设,则直线的方程为或【名师指引】转化是本题的关键,如:第2问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离;第3问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离,再利用射影定理转化为圆外一点到圆心的距离。弦长、切线长问题经常要这种转化[例3]已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4(m∈R).(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.[解析](1)解法1:l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.∵m∈R,∴得2x+y-7=0,x=3,x+y-4=0,y=1,即l恒过定点A(3,1).∵圆心C(1,2),|AC|=<5(半径),∴点A在圆C内,:圆心到直线的距离,,所以直线l恒与圆C相交于两点(2)弦长最小时,l⊥AC,由kAC=-,∴l的方程为2x-y-5=0.【名师指引】明确几点:(1)动直线斜率不定,可能经过某定点(2)直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内,此结论可推广到圆锥曲线(3)过圆内一点,最长的弦为直径,最短的弦为垂直于直径的弦题型3:圆上的点到直线的距离问题[例4]已知圆和直线,(1)若圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1,求半径的取值范围;(2)若圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1,求半径的取值范围;(3)若圆上有且只有2个点到直线l的的距离等于1,求半径的取值范围;【解题思路】解法1采用转化为直线与圆的交点个数来解决;解法2从劣弧的点到直线l的最大距离作为观察点入手解法1:与直线平行且距离为1的直线为和,圆心到直线的的距离为,圆心到直