文档介绍：武夷学院数学与计算机系《数学分析(1,2,3)》教案:..第21章曲线积分和曲面积分的计算教学目的:教学重点和难点:§1第一类曲线积分的计算设函数在光滑曲线上有定义且连续,的方程为则。特别地,如果曲线为一条光滑的平面曲线,它的方程为,,那么有。例:设是半圆周,。求。例:设是曲线上从点到点的一段,计算第一类曲线积分。例:计算积分,其中是球面被平面截得的圆周。例:求,此处为连接三点,,的直线段。§2第一类曲面积分的计算一曲面的面积(1)设有一曲面块,它的方程为。具有对和的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在平面上的投影为可求面积的。则该曲面块的面积为。(2)若曲面的方程为,令,,,则该曲面块的面积为。例:求球面含在柱面内部的面积。例:求球面含在柱面内部的面积。二化第一类曲面积分为二重积分(1)设函数为定义在曲面上的连续函数。曲面的方程为。具有对和的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在平面上的投影为可求面积的。则。(2)设函数为定义在曲面上的连续函数。若曲面的方程为令,,,则。例:计算,是球面,。例:计算,其中为螺旋面的一部分:。注:第一类曲面积分通过一个二重积分来定义,这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。例:I=,是球面,球心在原点,半径为。§。先用微元法,再用定义积分的方法讨论这一问题,得。,且设是定义在上的有界函数,将沿确定方向从起点开始用分点分成个有向弧段,直至终点。且设。在每一弧段上任取一点,作和式:。其中为起点,为终点。设,这里表示有向线段的长度。若当时,和有极限,且它与的分法无关,也与点的选择无关,则称为沿曲线按所述方向的第二类曲线积分,记作或。注:如果向量,则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为。注:第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质,也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。注:在平面情况下,若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时,如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方,则这个方向就算作正向,否则就算作负向。这时只要方向不变,曲线积分的值是与起点的位置无关的。二第二类曲线积分的计算设曲线自身不相交,其参数方程为:。且设是光滑的。设当参数从调地增加到时,曲线从点按一定方向连续地变到点。设函数定义在曲线上,且设它在上连续。则。(*)注:(*)积分下限必须对应积分所沿曲线的起点,上限必须对应终点。注:如果向量,则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为例:计算积分,L的两个端点为A(1,1),B(2,3).积分从点A到点B或闭合,路径为(1)直线段AB;(2)抛物线;(3)折线闭合路径A(1,1)D(2,1)B(2,3)A(1,1)。.例:计算积分,这里L:(1)沿抛物线从点O(0,0)到点B(1,2);(2)沿直线从点O(0,0)到点B(1,2);(3)沿折线封闭路径O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).例:计算第二型曲线积分I=,其中L是螺旋线,,从到的一段。三两类曲线积分的联系第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义是不同的,由于都是沿曲线的