文档介绍：第四节矩、协方差矩阵简介
在数学期望一讲中,我们已经介绍了矩和中心矩的概念.
这里再给出混合矩、混合中心矩的概念.
协方差Cov(X,Y)是X和Y的
二阶混合中心矩.
称它为X和Y的k+L阶混合(原点)矩.
若
存在,
称它为X和Y的k+L阶混合中心矩.
设X和Y是随机变量,若
k,L=1,2,…
存在,
可见,
协方差矩阵的定义
将二维随机变量(X1,X2)的四个二阶中心矩
排成矩阵的形式:
称此矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵.
这是一个
对称矩阵
类似定义n维随机变量(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
下面给出n元正态分布的概率密度的定义.
为(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵
称矩阵
都存在,
i, j=1,2,…,n
若
f (x1,x2, …,xn)
则称X服从n元正态分布.
其中C是(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
|C|是它的行列式, 表示C的逆矩阵,
X和是n维列向量, 表示X的转置.
设=(X1,X2, …,Xn)是一个n维随机向量,
若它的概率密度为
n元正态分布的几条重要性质
1. X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布
a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn均服从正态分布.
对一切不全为0的实数a1,a2,…,an,
n元正态分布的几条重要性质
2. 若 X=(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布,
Y1,Y2, …,Yk是Xj(j=1,2,…,n)的线性函数,
则(Y1,Y2, …,Yk)也服从多元正态分布.
这一性质称为正态变量的线性变换不变性.
n元正态分布的几条重要性质
3. 设(X1,X2, …,Xn)服从n元正态分布,则
“X1,X2, …,Xn相互独立”
等价于
“X1,X2, …,Xn两两不相关”
例2 设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2),
Y~N(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度.
故X和Y的联合分布为正态分布,X和Y的
任意线性组合是正态分布.
解: X~N(1,2),Y~N(0,1),且X与Y独立,
Var(Z)=4Var(X)+Var(Y)=8+1=9
E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5
即 Z~N(E(Z), Var(Z))
Z~N(5, 32)
故Z的概率密度是
Z~N(5, 32)