文档介绍：数值分析—最佳逼近
━基于MATLAB的实现与分析
§1 引言
所谓函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数中寻找一个和给定的函数“最贴近”的函数,从几何(空间)的角度看,函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数(点的集合)中寻找一个与给定的函数(定点)距离最短的函数(点)。
由于在函数空间中可以定义不同的距离,不同意义下的距离度量定义了不同的逼近准则。
令表示指定的一类简单的函数集合
1、函数最佳一致逼近:
基于的距离度量如下
(1)
逼近准则:
(2)
2、函数最均方逼近:
基于的距离度量如下
(3)
逼近准则
(4)
如果给定的是函数在若干点处的函数值:,,那么还有称为:
3、最小二乘逼近:
基于的距离度量如下
(5)
逼近准则
(6)
4、插值逼近,其逼近准则为:
, (7)
对于函数最佳逼近问题而言,用于逼近的简单的函数集合一般选取次数不超过次的多项式函数全体
(8)
即用多项式函数逼近给定的函数,其原因在于只需对自变量做加法、减法和乘法运算就能得到函数值是多项式函数显著的特点之一,因此,从计算的角度来说多项式函数是最简单的。
1、函数最佳一致逼近(Uniformity Optimal Approximation)
基于的距离度量如下
(1)
逼近准则:
(2)
求一函数在给定区间上的最佳逼近多项式,指定用于逼近多项式的次数,如次数不超过次的多项式函数全体
(3)
关于函数最佳一致逼近,有著名的
定理1(Weierstrass) 任意给定闭区间上的连续函数,必存在多项式函数序列,,使得
(4)
以及
定理2 任意给定闭区间上的连续函数,在次数不超过次的多项式函数全体
(5)
中最佳一致逼近多项式函数必存在。
定义1 设,如果存在点集满足
(6)
使得函数在该点集上取值为
(7)
或

则称点集是函数在区间的一个交错点组。
例1 考虑函数
在区间上的情况,容易验证
(8)
即,,是该函数在区间上的交错点组.
最佳一致逼近问题同时存在正偏差点和负偏差点.
通过具体求解下面的零次、一次最佳一致逼近来理解.
一、零次最佳一致逼近
P0(x)=A
y M
m
a b x
设(为某常数),因而有最大值和最小值,即有点,,,见右图.
事实上,由于,而对任何, ,即为最小偏差,为正、负偏差点.
二、一次最佳一致逼近
,此时根据右图,所求即为平行于弦MN的直线,且满足.
由于,必单调增加,而偏差点必在的最大、最小值点达到,因此,
由方程1))解出,,,且通过MQ的中点.
【注】时,零次多项式逼近有两个偏差点;时,一次逼近有三个偏差点,且偏差点正、.
定理3(Chebyshev) 次多项式是函数在上的最佳一致逼近多项式当且仅当在上有个点组成的交错点组。
充分性证明:设在上有个点组成的交错点组:
(9)
不妨假设式如下情形
设是异于的一个次多项式,且
(10)
由于
(11)
所以
(12)
进一步地
(13)
一般地
, (14)
这表明至多是次的多项式至少有个根,根据代数基本定理这是不可能的.
为了讨论函数的最佳一致逼近问题,需要了解在其中起重要作用的Chebyshev多项式及其性质.
§2 Chebyshev多项式及其若干性质:
首先介绍正交多项式(Orthogonal Polynomials)的基本概念.
§ 正交多项式
【定义2】若非负函数在上满足条件
(1) 对一切,存在;
(2) 对非负连续函数,若,则在上.
那么,称为上的权函数.
【定义3】给定,是上的权函数,称
为与在上的内积.
内积的性质:
(1) ;
(2) ,为常数;
(3) ;
(4) 当时,.
【定义4】若与的内积=0,则称与在区间上带权正交.
【注】(1) 若函数序列满足
则称是上关于权的正交函数序列(Orthogonal Set of Functions).
(2) 当正交函数序列的是()次多项式时,则称是上关于权函数的正交多项式序列.
(3)正交多项式序列一定是线性无关序列.
§ 切比雪夫多项式及其性质
次Chebyshev多项式由下式定义:
, (15)
一般地有
性质1 Chebyshev多项式的三项递推关系:
(16)
简单的推导:
性质2