文档介绍：螁螀羇矩阵A的m重伴随矩阵的性质羅数学系01数本05程清妹指导老师:杨忠鹏蒅蒀摘要本文定义了矩阵的重伴随矩阵,并利用已有的理论成果,对的性质进行推广,主要讨论了的行列式、秩、转置和逆矩阵与的关系,及为特殊阵与为特殊阵之间的联系,;伴随矩阵;秩;特征值;数学归纳法袄芁0引言螆设是阶方阵,的伴随矩阵定义如下蒆定义1 设是阶方阵的元素的代数余子式,则阶方阵芃,其中,称为的伴随矩阵羁袇本文推广了这一定义,给出了的重伴随矩阵的概念薄定义2 设为阶方阵,称阶方阵为的重伴随矩阵,记为螃=,螂特别地,,罿引理设为阶方阵,则秩羆证明:(1)当秩,即可逆时,由于,故也是可逆的,即秩;膂(2)当秩时,有,于是,从而秩;蒂又因为秩,所以至少有一个代数余子式,从而又有螆秩, 于是秩肅(3)当薁引理设为阶方阵,则有羈证明:(1)当时,由引理1知秩,如果,由引理1知螈秩,因此膃如果,令也有肁虿(2)当时,则也,则, 当=时,秩=腿当>2时,秩=蚈证明: 当>时肆由引理1知, 秩=薃所以秩羀蝿秩膄当时羂设=,则,蚀所以薆薇因此秩=秩= 设为阶方阵(),蚅=袁证明:(1)因为当,时膁虿螄薄袁从而得到关于的指数的一个数列,且蒇膆羄蚂薈芄由数列的性质得到通项公式,则莃同理可证,当,膈蕿薇袂从而得到关于的指数的一个数列,且袈莇螅节蕿由数列性质得到通项公式,则蒈(2)用数学归纳法证明结论袃当,时,蚁取=1,有,则=,等式成立荿设时,等式成立,即=葿当时,膆=肁肀等式成立芇综上所述,当,,有莄同理可证,当,, 蚇证明:若,由引理1知,当时,,则有芃若,薀即时, 可逆时,有螅=蚃证明:(数学归纳法)莁当时,,等式成立膇设时,袃当时,肂肁综上所述,当时,, 肆证明: 若是幂等阵,则也是幂等阵。羁证明:因为,所以或薂若,由引理1知,,则膇若,可逆,则,即, 若是对合阵,则也是对合阵。反之也成立肈证明:由,得=1或=-1,且=,当时,由知,袅肄当时,由知蝿羆所以,当时,有羃反之,若,则=或=,,=1或=-1,,当时,莆所以,由知,即袂同理可证,当时,艿因此,当,时,有聿命题得证 若是正定阵,则也是正定阵,反之为正定阵,且为偶数, 可逆时,为正定阵莂证明:若正定,则,,有肀因为,袆又由,正定,,得正定袆同理可证,正定,以此类推,正定螁反之,若正定,有正定螀因为,当为偶数时,有为奇数,,当时,,正定,所以为正定阵羅同理可证,当时, 若是正交阵,则是正交阵。反之也成立罿证明:由已知得,且或肃当时,,螆由上述可得时,,有,即为正交阵蒆若,当,芃,羁由,,知袇同理可证,当时,有薄所以,,,有,即为正交阵