文档介绍：论函数的中心对称性
摘要本文首先给出了函数图像中心自对称性和互对称性的定义,进而证明了中心自对称特征和中心互对称的判别准则,最后利用上面的结论得到三种特殊函数的对称中心。
关键词函数图像自对称互对称
中图分类号: 文献标识码:A
对称的概念来源于生活。对称,就其字面的意义来说,是相对而又相称。其本质是在变化中保持不变,即“变中有不变”,主要包括轴对称和中心对称两个方面。轴对称指的是函数图像关于一根轴对称,如概率论中的正态分布N(?%e,?%l2)曲线,就是一条优美的关于轴=?%e对称的轴对称曲线,俗称钟形曲线。许多互不相干的自然现象或社会现象,它们的统计规律却服从统一的分布——正态分布,中心对称指的是函数的图像关于一个中心点对称,如奇函数=的图像。在中学数学和大学数学中,我们已经学****过函数关于中心对称的一些性质知道,在此基础上,本文将引伸出关于函数图像对称性的更加深入细致的探讨。
1 函数图像中心自对称性
设A(,)(,)与(,)的坐标满足:,则称点(,)与点(,)关于点A(,)成中心对称。由定义可得下述点(,)关于点A(,)中心对称的对称点(,)坐标公式为: =2a- =2b-
特款:平面上的任何点(,)关于原点(0,0)的中心对称点是(-,-)
(函数图像中心自对称性)给定函数=()(∈D)称G()={(,)|=(),(∈D}
为函数()的图像。A(,)是平面上给定的点,如果G()中的任何点关于的中心对称点(,)也在G()中,那么称函数的图像关于点成中心自对称。
特款:奇函数()的图像关于(0,0)中心自对称。
设一次函数=+的图像为直线,试求与关于原点(0,0)对称的直线的函数解析式.
解设(,)是直线上的任意点,则(,)关于原点(0,0)的对称点(-,-)在上,因而有-=(-)+,即的函数解析式为=-。
(中心自对称特征)设→,∈下述命相互等价:
(1)函数=()的图象关于点A()中心对称;
(2)=(+a)-c是奇函数;
(3)对于任何∈有(+)+(-)=2;
(4)对于任何∈有()+(2-)=2。
证作坐标平移= =。
令=(+)-,在新坐标系下,=()化成(+)-=。
从定义我们可直接推得:
=()的图象关于点A()中心对称
=的图象关于原点对称
=是奇函数
+=0
(+)+(-)=2
()+(2-)=2。
2 函数图像中心互对称性
给定函数=()(∈)与=()(∈),A()是平面上给定的点。如果函数()的图像上G()的任何点(,)关于A()的中心对称点(,)都在函数()的图像G()上,反之亦然,那么称函数()的图像与函数()的图像关于点A()中心互对称。
(中心互对称判别准则)设=()(∈),(∈)。下述命题成立:
(1)函数=()的图象与=2-(2-)的图象关于A()中心对称;
(2)函数=(+)的图象与函数=2-(-)的图象关于A()中心对称。
特款:函数=()的图像与函数=-()的图像关于点(0,0)中心对称。
证易见函数=()的图象与=-()的图象关于原点中心对称。
作