文档介绍：主讲人:刘海宁
数学建模中的统计分析方法
层次分析
层次分析模型
背景
日常工作、生活中的决策问题
涉及经济、社会等方面的因素
作比较判断时人的主观选择起相当大的作用,各因素的重要性难以量化
Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process)
AHP——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法
目标层
O(选择旅游地)
P2
黄山
P1
桂林
P3
北戴河
准则层
方案层
C3
居住
C1
景色
C2
费用
C4
饮食
C5
旅途
一. 层次分析法的基本步骤
例. 选择旅游地
如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.
“选择旅游地”思维过程的归纳
将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层C,方案层P;每层有若干元素, 各层元素间的关系用相连的直线表示。
通过相互比较确定各准则对目标的权重,及各方案对每一准则的权重。
将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的权重。
层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤,给出决策问题的定量结果。
层次分析法的基本步骤
成对比较阵和权向量
元素之间两两对比,对比采用相对尺度
设要比较各准则C1,C2,…, Cn对目标O的重要性
A~成对比较阵
A是正互反阵
要由A确定C1,…, Cn对O的权向量
选择旅游地
成对比较的不一致情况
一致比较
不一致
允许不一致,但要确定不一致的允许范围
考察完全一致的情况
成对比较阵和权向量
成对比较完全一致的情况
满足
的正互反阵A称一致阵,如
A的秩为1,A的唯一非零特征根为n
A的任一列向量是对应于n 的特征向量
A的归一化特征向量可作为权向量
对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A,建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ,即
一致阵性质
成对比较阵和权向量
2 4 6 8
比较尺度aij
Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值1,2,…, 9及其互反数1,1/2, …, 1/9
尺度 1 3 5 7 9
相同稍强强明显强绝对强
aij = 1,1/2, ,…1/9
的重要性与上面相反
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个
用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+~d+ (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵,算出权向量,与实际对比发现, 1~9尺度较优。
便于定性到定量的转化:
成对比较阵和权向量
一致性检验
对A确定不一致的允许范围
已知:n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
可证:n 阶正互反阵最大特征根n, 且=n时为一致阵
定义一致性指标:
CI 越大,不一致越严重
RI
0
0
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
10
为衡量CI 的大小,引入随机一致性指标 RI——随机模拟得到aij , 形成A,计算CI 即得RI。
定义一致性比率 CR = CI/RI
当CR<,通过一致性检验
Saaty的结果如下
“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验
准则层对目标的成对比较阵
最大特征根=
权向量(特征向量)w =(,,,,)T
一致性指标
随机一致性指标 RI= (查表)
一致性比率CR==<
通过一致性检验