文档介绍：理工学院
函授本科毕业论文
题目无穷级数求和的若干方法
专业名称数学与应用数学
无穷级数求和的若干方法
于涛
(陕西理工学院)
摘要:本文介绍了十种无穷级数求和的方法,并通过举例说明这些方法的应用.
关键词:无穷级数;级数收敛;级数发散;求和
,,无穷级数求和问题是无穷级数中的难点,因此这里给出的十种方法主要是针对上述两种级数,并通过例题讲述这些求和方法的应用.
1 定义法[1]
这是利用无穷级数和的定义来求级数和的一种方法,这种方法用于级数前项部分和数列比较好求的级数,在此我又把其分为以下三类.
(1) 直接法:适用于为等差或等比级数或通过简单变换易化为这两种级数.
例1 求级数的和,.
解(1)
中各项的系数1、3、5、是公差为2的等差数列,(1)的两边同乘以得: (2)
(1)-(2)得:

因为,所以
.
(2) 拆项法:.
例2 求级数的和.
解
,
即
.
(3) 递推法:是利用问题本身所具有的递推关系来求解问题的一种方法.
例3 求级数的和.
解

由数学归纳法可证:
,
故
.
2 阿贝尔法[2](即构造幂级数法)
若级数收敛,,而幂级数的和函数可通过逐项微分或积分得到,故易得的和.
例4 级数的和.
解令,.
之所以这样构造幂级数,
,
即
.
上式两边对求导: ,
故
.
3 逐项微分法[2]
由于幂函数在微分时可以产生一个常系数,,这是求和运算与求导(微分)运算交换次序问题,因而应当心幂级数的收敛区间(对后面的逐项积分法亦如此).
例5 级数的和函数,其中.
解
令,.
由,则;
类似地,
故
.
有时候,所求级数的通项为另一些函数的导数,而以这些函数为通项的级数易于求和,则可将这些函数逐项求导.
例6 求级数的和函数,在区间内.
解
.
4 逐项积分法
同逐项微分法一样,逐项积分法也是级数求和的一种重要方法,这里当然也是运用函数积分时产生的常系数,而使逐项积分后的新级数便于求和.
例7 求级数的和函数,这儿.
解令,.
而
,
故
,
则
.
5 逐项微分、积分
有时在同一个级数求和式中既需要逐项微分,又需要逐项积分,这往往是将一个级数求和问题化为两个级数求和问题才会遇到.
例8 求级数的和函数,这儿.
解

.
6 通过函数展开法
数项级数的求和也可通过函数幂级数或傅里叶级数展开后赋值而得到(当然它们常与幂级数逐项微分、积分技巧配合使用).
(1) 幂级数的赋值法:根据所给数项级数的特点构造一个容易求和的幂级数,在此幂级数的收敛域内有一点,,幂级数的和为,则.
例9 求级数的和.
解作,由,
则
令,则
.
(2) 傅里叶级数的赋值法:利用函数的傅里叶级数展开再赋值是求数项级数和的一个重要手段.
例10 求级数的和.
解把在上展成余弦级数

令,则,
故
.
7 复数法[1](三角级数求和法)
这是求三角级数和常用的方法,为了求级数及的和,常把它们视为复数域内的幂级数(其中)
的和好求,则级数及级数的求和问题就已解决.
例11 求级数的和函数.
解,其中
令,
,
故
.
8 积分法
(1) [2]积分概念实际上可视为无穷级数求和概念的拓广,但相对来说,定积分较无穷级数好处理,因而有些级数求和问题可化为定积分问题去考虑,但它与定积分的递推公式有关.
例12 求级数的和.
解令,考虑到.
当时,由于,故,
于是,即,又,
即
.
综合上两式有,
, (3)
(3)式两边取极限且
则
.
(2)[3]利用公式,.
来求无穷级数的和,当、为非负整数时,利用此公式求级数的和特别简单,下面我们验证此公式的正确性.
作函数

由于,故
.
而
,
所以
.
例13 求级数的和.
解此级数与上面公式比较知从而