文档介绍：蚆金融统计中的信息几何膃第一章微分几何基础薀微分几何基础是曲线和曲面几何的入门知识,主要内容包括欧氏空间上的积分、帧场、欧氏几何、曲面积分、形状算子、曲面几何、黎曼几何、曲面上的球面结构等。修订版扩展了一些主题,更加强调拓扑性质、测地线的性质、(differentiablemanifold),也称为光滑流形(smoothmanifold),是拓扑学和几何学中一类重要的空间,是带有微分结构的拓扑流形。微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象,是三维欧式空间中曲线和曲面概念的推广,可以有更高的维数,而不必有距离和度量的概念。薂设M是一个豪斯多夫拓扑空间。U是M的开集,h是U到n维欧氏空间R的开集(常取为单位球内部或立方体内部等等)上的一个同胚映射,则(U,h)称为一个坐标图,U称为其中点的一个坐标邻域。设M为开集系{Uα}所覆盖,则(Uα,hα)的集合称为M的一个坐标图册。如果M的坐标图册中任何两个坐标图都是C相关的,则称M有C微分结构,又称M为n维的C微分流形。C相关是指流形M上同一点的不同坐标之间的变换关系是C可微分的(k=0,1,…,∞或ω),依通常记号C表示解析函数。具体来说,如p∈Uα∩Uβ,(x,)(x)(i=1,…,n)分别是p在两个坐标图(Uα,hα),(Uβ,hβ)下的(局部)坐标,即那么它们之间的关系式可表为芀***1肇而ƒ关于x(j=1,2,…,n)具有直到k次的连续导数。k=0时,M是拓扑流形;k>0时,就是微分流形;k=ω时,是解析流形。C流形又常称为光滑流形。羂羁2膈如果微分流形M是一个仿紧或紧致拓扑空间,则称M为仿紧或紧致微分流形。如果可选取坐标图册使微分流形M中各个坐标邻域之间的坐标变换的雅可比行列式都大于零,则称这个流形是可定向的。球面是可定向的,麦比乌斯带是不可定向的。芅同一拓扑流形可以具有本质上不同的微分结构。米尔诺(JohnMilnor)首先发现作为一个拓扑流形,七维球面上可有不同于标准微分结构的怪异微分结构。后来弗里德曼(MichaelFreedman)等得出如下的重要结果:四维欧氏空间中也有多种微分结构,这与其他维数的欧氏空间只有惟一的微分结构有着重大区别。,如果对于N上的任意Cr函数ƒ,M上的函数ƒ。φ总是Cr的,则称φ是Cr可微映射,或简称Cr映射。如果φ是从M到N上的同胚,而且φ和φ都是C的,则称φ为微分同胚,此时也称M与N是微分同胚的微分流形。莄映射的微分膅设φ是从M到N的C映射。对M上点p的切向量x可以如下地定义N在点φ(p)处的切向量蒂这个对应x→x┡用dφP表示,称为φ在点p处的微分。微分dφP是从切空间TP(M)到(N)的线性映射,有时也称为φ在切空间的诱导映射,常用φ*P或φ*表示。利用对偶性,φ也自然地诱导了从余切空间到T坝的线性映射,常记为(dφP)或φ坝或φ。由张量积运算,φ还可以诱导对应点之间某些张量空间之间的线性映射。肇子流形蚆设M和N是两个C流形,φ:M→N是C映射。如果微分dφP在M的每一点都是单射,则称φ是浸入,而φ(M)称为N的浸入子流形。如果浸入φ还是单射,则称为嵌入,此时φ(M)称为N的嵌入子流形。薄光滑函数节流形M上的实数值连续函数f:M→R是一个光滑函数,